概率论与数理统计期末复习20题及解答

概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(.假设该信道传输各字符时是独立工作的.现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【第二章】随机变量及其分布5、设连续随机变量X的分布函数为xxBAxF,arctan)(．（1）求系数A及B；（2）求X落在区间)1,1(内的概率；（3）求X的概率密度．6、设随机变量X的概率密度为其它,0,10,)(xaxxf，求：（1）常数a；（2）)5.15.0(XP；（3）X的分布函数)(xF．7、设二维随机变量),(YX的联合概率密度为.,0;1,1),1(),(其它yxxyAyxf求：（1）系数A；（2）X的边缘概率密度)(xfX；（3）概率)(2XYP．8、设二维随机变量),(YX的概率密度为.,0;20,10,1),(其它xyxyxf求：（1）),(YX的边缘概率密度)(xfX，)(yfY；（2）概率)1,21(YXP；（3）判断X,Y是否相互独立.9、设X和Y是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~UX，Y的概率密度函数为.0,0,0,5)(5yyeyfyY（1）求X和Y的联合概率密度),(yxf；（2）求概率)(XYP．【第三章】数字特征10、设随机变量X的概率密度为,,0,21,)2(,10,)()(其它xxaxbxbaxf，已知21)(XE，求：（1）ba,的值；（2）)32(XE．11、设随机变量X的概率密度为.0,0,0,)(2xxAexfx求：（1）常数A；（2）)(XE和)(XD．12、设),(YX的联合概率分布如下：XY01104/14/12/10XY01104/14/12/10（1）求YX,的数学期望)(XE,)(YE，方差)(XD，)(YD．（2）求YX,的协方差),cov(YX与相关系数),(YXR．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X（百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例.[已知9332.0)5.1(,8413.0)1(，9772.0)2(]14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X（单位：mm）表示轴的直径，随机变量Y（单位：mm）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2NX，)4.0,52(~2NY，显然X与Y是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在3~1mm之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(]【第五章】数理统计基本知识15、设总体)1,0(~NX，521,,,XXX是来自该总体的简单随机样本，求常数0k使)3(~)2(25242321tXXXXXkT．16、设总体)5,40(~2NX，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|XP．【第六章】参数估计17、设总体X的概率密度为,,0,2,);()2(其它xexfx其中参数0．设nXXX,,,21是取自该总体的一组简单随机样本，nxxx,,,21为样本观测值.（1）求参数的矩估计量．（2）求参数的最大似然估计量．18、设总体X的概率密度为,0,0;0,e1);(2xxxxfx其中参数0．设nXXX,,,21是取自该总体的一组简单随机样本,nxxx,,,21为样本观测值.（1）求参数的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数的无偏估计，请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感.某工艺品厂生产矩形裱画专用框架.根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00的正态分布.现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0x样本标准差为093.0s.试问在显著性水平05.0水平上能否认为这批产品是合格品？20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用.临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220（单位:mmHg,毫米汞柱）的正态分布.现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验.现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg(5.19x，样本标准差)mmHg(2.5s.试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论（取显著性水平05.0）.解答部分【第一章】随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋,再从乙袋中任取一球返还甲袋.求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.【解】设A表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则ABC，又2163)(,74)(ABPAP，于是由概率乘法定理得所求概率为)()(ABPCP)()(ABPAP=722174.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．【解】设iA表示“此人第i次拨号能拨通所需电话”)2,1(i，A表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则211AAAA，由概率加法定理与乘法定理得所求概率为)()()()(211211AAPAPAAAPAP)()()(1211AAPAPAP2.091109101.3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(.假设该信道传输各字符时是独立工作的.现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.【解】设:1A输入的是“101”，:2A输入的是“010”，:B输出的是“000”，则2/1)(1AP，2/1)(2AP，21)1()(ABP，)1()(22ABP，从而由全概率公式得)()()()()(2211ABPAPABPAPBP)1(21)1(2122)1(21.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【解】设A表示“该考生会解这道题”，B表示“该考生选出正确答案”，则85.0)(AP，2.0)(AP，1)(ABP，25.0)(ABP．（1）由全概率公式得)()()()()(ABPAPABPAPBP25.02.0185.09.0．（2）由贝叶斯公式得944.018179.0185.0)()()()(BPABPAPBAP．【第二章】随机变量及其分布5、设连续随机变量X的分布函数为xxBAxF,arctan)(．（1）求系数A及B；（2）求X落在区间)1,1(内的概率；（3）求X的概率密度．【解】（1）由分布函数的性质可知0)2()(lim)(BAxFFx，12)(lim)(BAxFFx，由此解得1,21BA．（2）X的分布函数为)(arctan121)(xxxF，于是所求概率为21))1arctan(121()1arctan121()1()1()11(FFXP．（3）X的概率密度为)1(1)()(2xxFxf．6、设随机变量X的概率密度为其它,0,10,)(xaxxf，求：（1）常数a；（2）)5.15.0(XP；（3）X的分布函数)(xF．【解】（1）由概率密度的性质可知dxxf)(1210aaxdx，由此得2a．（2）)5.15.0(XP75.000212/122/3112/1xdxxdx.（3）当0x时，有00)(xdxxF；当10x时，有20020)(xxdxdxxFx；当1x时，有1020)(1100xdxxdxdxxF.所以，X的分布函数为.1,1,10,,0,0)(2xxxxxF7、设二维随机变量),(YX的联合概率密度为.,0;1,1),1(),(其它yxxyAyxf求：（1）系数A；（2）X的边缘概率密度)(xfX；（3）概率)(2XYP．【解】（1）由联合概率密度的性质可知dxdyyxf),(14)1(1111AdyxyAdx，由此得41A．（2）当11x时，有)(xfXdyyxf),(214111dyxy；当1x或1x时，显然有0)(xfX．所以X的边缘概率密度.,0;11,2/1)(其它xxfX（3）)(2XYP2),(xydxdyyxfdyxydxx211141dxxxx)1221(41251132．8、设二维随机变量),(YX的概率密度为.,0;20,10,1),(其它xyxyxf求：（1）),(YX的边缘概率密度)(xfX，)(yfY；（2）概率)1,21(YXP；（3）判断X,Y是否相互独立.【解】（1）当10x时，有xdydyyxfxfxX2),()(20；当0x或1x时，显然有0)(xfX.于是X的边缘概率密度为.,0;10,2)(其它xxxfX当20y时，有1221),()(yYydxdxyxfyf；当0y或2y时，显然有0)(yfY.于是Y的边缘概率密度为.,0;20,21)(其它yyyfY（2）2/12/102/11-41),()}1,21{(ydxdydxyxfdyYXP.（3）容易验证)()(),(yfxfyxfYX,故X与Y不独立.9、设X和Y是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~UX，Y的概率密度函数为.0,0,0,5)(5yyeyfyY（2）求X和Y的联合概率密度),(yxf；（2）求概率)(XYP．【解】（1）由题意知，X的概率密度函数为.,0;2.00,5)(其它xxfX因为X和Y相互独立，故X和Y的联合概率密度.,0;0,2.00,25)()(),(5其它yxeyfxfyxfyYX（2）12.005052.00)1(525),()(edxedyedxdxdyyxf