四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为cba,,，则体对角线长为222cbal，几何体的外接球直径R2为体对角线长l即2222cbaR【例题】：在四面体ABCD中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为AE的长即：22224ADACABR1663142222R所以2R球的表面积为1642RS二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，BCAB且7PA，5PB，51PC，10AC,求球O的体积。解：BCAB且7PA，5PB，51PC，10AC,因为22210517所以知222PCPAACACDBE所以PCPA所以可得图形为：在ABCRt中斜边为AC在PACRt中斜边为AC取斜边的中点O，在ABCRt中OCOBOA在PACRt中OCOBOP所以在几何体中OAOCOBOP，即O为该四面体的外接球的球心521ACR所以该外接球的体积为3500343RV【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCDA中，ABCAD面，120BAC，2ACADAB，求该棱锥的外接球半径。解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A)002(，，B)200(，，D)031(，，C由平面知识得设球心坐标为),,(zyxO则DOCOBOAO,由空间两点间距离公式知222222)2(zyxzyx222222)2(zyxzyx222222)3()1(zyxzyx解得1331zyxOABCPABCDzxy所以半径为3211331222）（R【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(zzyyxxPQ四、四面体是正四面体处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。一、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a．由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．正四面体的表面积223434aaS表．正四面体的体积22221234331BEABaAEaVBCDA322212233123aaaaBCDAVrS表31，aaaSVrBCDA12631223323表在BEORt中，222EOBEBO，即22233raR，得aR46，得rR3【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h(h为正四面体的高)，且外接球的半径43h，从而可以通过截面图中OBERt建立棱长与半径之间的关系。例2．设棱锥ABCDM的底面是正方形，且MDMA，ABMA，如果AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解：ABMAABADAB,,平面MAD，图2图1由此，面MAD面AC.记E是AD的中点，从而ADME.ME平面AC，EFME设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.如图2，得截面图MEF及内切圆O不妨设O平面MEF，于是O是MEF的内心.设球O的半径为r，则MFEMEFSrMEF2，设aEFAD,1AMDS.222,2aaMFaEM,12222222222aaaar当且仅当aa2，即2a时，等号成立.∴当2MEAD时，满足条件的球最大半径为12.练习：一个正四面体内切球的表面积为3，求正四面体的棱长。（答案为：2）【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。二、球与棱柱的组合体问题1．正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径为R。如图3，截面图为正方形EFGH的内切圆，得2aR；2．与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得aR22。3．正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA作截面图得，圆O为矩形CCAA11的外接圆，易得aOAR231。例3.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且aPCPBPA,那么这个球的表面积是______.图3图4图5解：由已知可得PA、PB、PC实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C的一条对角线CD，则CD过球心O，对角线aCD3223234aaS球表面积练习：一棱长为a2的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为3326243aaV）4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例4.已知三棱柱111CBAABC的六个顶点在球1O上，又知球2O与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O与球2O的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图6，由题意得两球心1O、2O是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，则aR632，正三棱柱的高为aRh3322，由ODARt11中，得22222221125633333aaaRaR，aR12511:5::222121RRSS，1:55:21VV练习：正四棱柱1111DCBAABCD的各顶点都在半径为R的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：224R）【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。勾股定理知，假设正四面体的边长为a时，它的外接球半径为a46。图6