全等三角形复习课---公开课

本章知识框架本章总结提升相等相等重合完全重合SSSSASASAAAS1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。③有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。一、已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件求证:ΔABC≌ΔDEF∠ACB=∠DFEAB=DEABCDEFDEFABC∠A=∠D(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿；(2)若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿＿＿；(3)若要以“AAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿；二、挖掘“隐含条件”判全等1.如图（1），AB=DC，AC=DB，则△ABC≌△DCB吗?说说理由ADBC图（1）2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，则∠C=,BE=.说说理由.BCODEA图（2）3.如图（3），AC与BD相交于o,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD=.说说理由.ADBCO图（3）20°5cm3cm友情提示：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！3.如图：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=。12cABDE三、熟练转化“间接条件”判全等4.如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE;△AFD与△CEB全等吗？为什么？ADBCFE解:△AFD与△CEB全等,理由是：∵AE=CF∴AE-EF=CF-EF∴AF=CE在△AFD与△CEB中AF=CE∠AFD=∠CEBDF=BE∴△AFD≌△CEB(SAS)解：BC=DE，理由是：∵∠CAE=∠BAD∴∠CAE+∠EAB∠=∠BAD+∠EAB∴∠CAB=∠EAD在△CAB与△EAD中∠CAB=∠EAD∠B=∠DAC=AE∴△CAB≌△EAD（AAS)∴ED=CB5.如图在△ABC、△ADE中∠B=∠D，AC=AE,且∠CAE=∠BAD，则BC=DE吗？为什么？ACEBD等量加等量和相等，等量减等量差相等，都是用来间接找边和角相等的方法！6、已知，如图,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点,试说明:BF=CF.证明：在△ABD和△ACD中AB=ACBD=CDAD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD又∵F是AD延长线上一点，∴∠BAF=∠CAF在△ABF和△ACF中AB=AC∠BAF=∠CAFAF=AF∴△ABF≌△ACF(SAS）∴BF=CF例2：如图，已知△ABC中，BE和CD分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且BD=CE，∠1=∠2。说明BE=CD的理由。ABCED12解：∵∠DBC=2∠1，∠ECB=2∠2（角平分线的定义）∠1=∠2∴∠DBC=∠ECB在△DBC和△ECB中BD=CE（已知）∠DBC=∠ECBBC=CB（公共边）∴△DBC≌△ECB（SAS）∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在△EBC和△EBD中∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中AB=AB∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)∴AC=AD6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：△ABC≌△DEF证明：∵AB∥DE∴∠A=∠D∵AF=DC∴AF+FC=DC+FC∴AC=DF在△ABC和△DEF中AC=DF∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（SAS）17。如图在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且BC两点在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E求证：（１）ＢＤ=DE+CECBAED提示证明：△ABD≌△ACE（AAS）证明：7：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：)(21ACABADABCDE证明：倍长中线3.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。ACEBD要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）截长补短E证明：在DC上截取DE＝DB，连接AEACDB·１４。如图在三角形ABC中，BC上的高为AD，且∠B=2∠C求证：CD=AB＋BD4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=ADEDCAB证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=ADEDCAB3.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD变式：以上条件不变，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度，以上的结论还成立吗？当顺时针旋转10°时，4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，当△ABC绕点C顺时针旋转ɑ时，连接BE，DA；结论BE=AD还成立吗？若成立请加以证明。EDCABEDCABα﹙引申：.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上，AC与BE相交于M，CE与AD相交于N，试判定△ＣＭＮ的形状EDCABMN解：△ＣＭＮ是等边三角形证明：（１）先证∠ACE＝６０°（２）证明△BCE≌△ACD→∠BEC＝∠ADC（３）在证△MCE≌△NCD→CM=CN8.如图，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，（不是中点）且AD＝BE＝CF，图中全等三角形有那些？解：AFEDCBGIH△ＡＤＧ≌△BEH≌△CFI△ＡBH≌△BCI≌△CAG△ＡBE≌△BCF≌△CAD△ＡHF≌△BID≌△CGE△ＡBF≌△BCD≌△CAE8引申如图，在等边△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，（不是中点）且△DEF也是等边三角形，图中（１）除已知相等的边外，还有那些相等的线段？（２）你所证明的相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程解：（１）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）这些相等的线段可以看出平移旋转而得到，如AE和BF，把AE绕这A点沿顺时针方向选旋转６０°，，再沿着AB方向平移使点A至点F即可得到BF，其余类同AFEDCB