空间向量与立体几何高考专题

第1页—共8页空间向量与立体几何专题（理科）1．如下图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且PFBF．(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．2．如上右图，在三棱柱111ABCABC中，1CC平面ABC，D，E，F，G分别为1AA，AC，11AC，1BB的中点，5ABBC，12ACAA．(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角1BCDC的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交．3．如下图，在三棱锥PABC中，22ABBC，PAPBPC4AC，O为AC的中点．(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值．PFEDCBAC1B1A1GFEDCBA第2页—共8页4．如下图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．5．在正三棱柱111ABCABC中，12ABAA，点P，Q分别为11AB，BC的中点．(1)求异面直线BP与1AC所成角的余弦值；(2)求直线1CC与平面1AQC所成角的正弦值．OMPCBAMDCBAABCQPA1C1B1第3页—共8页6．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且90BAPCDP．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PAPDABDC，90APD，求二面角APBC的余弦值．7．如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面三角形ABCD，12ABBCAD，90BADABC，E是PD的中点．(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值8．如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，DCBAPEMDCBAP第4页—共8页ABBD．(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值．9．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，6PAPD，4AB．（Ⅰ）求证：M为PB的中点；（Ⅱ）求二面角BPDA的大小；（Ⅲ）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．10．如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，1AB，2AD，5ACCD.（1）求证：PD平面PAB；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；ABCDE第5页—共8页（3）在棱PA上是否存在点M，使得//BM平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.11．在如下图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（II）已知EF=FB=12AC=23，ABBC．求二面角FBCA的余弦值.12．如下图，四边形ABCD为菱形，120ABC，,EF是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．第6页—共8页13．如图1，在直角梯形ΑΒCD中，//ΑDΒC，2ΒΑD，1ΑΒΒC，2ΑD，Ε是ΑD的中点，O是AC与BE的交点．将ΑΒΕ沿BE折起到1ABE的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD平面1AOC；（Ⅱ）若平面1ABE平面BCDE，求平面1ABC与平面1ACD夹角的余弦值．14．如下图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角DAEC为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥EACD的体积．第7页—共8页15．如下图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且2ABBCBD，0120ABCDBC，E、F分别为AC、DC的中点．（Ⅰ）求证：EFBC；（Ⅱ）求二面角EBFC的正弦值．16．如图三棱锥111ABCABC中，侧面11BBCC为菱形，1ABBC．(Ⅰ)证明：1ACAB；（Ⅱ）若1ACAB，o160CBB，ABBC，求二面角111AABC的余弦值．17．如下图，在平行四边形ABCD中，1ABBDCD，,ABBDCDBD,将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD．（Ⅰ）求证：ABCD；（Ⅱ）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．ADCBFEBDCAM第8页—共8页18．如图，四棱柱1111ABCDABCD的所有棱长都相等，ACBDO，11111ACBDO，四边形1111ACCABDDB和四边形均为矩形．(1)证明：1;OOABCD底面(2)若1160,CBACOBD求二面角的余弦值．19．四面体ABCD及其三视图如图所示，过被AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱CADCBD，，于点HGF，，．俯视图左视图主视图122ABCDFGHE（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值．O1OB1BCDAA1C1D1