函数与导数解答题排序2

试卷第1页，总63页第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）试卷第2页，总63页第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）评卷人得分三、解答题（题型注释）1．已知函数()4(,)afxxbabRx为奇函数.（1）若(1)5f，求函数()fx的解析式；（2）当2a时，不等式()fxt在1,4上恒成立，求实数t的最小值；（3）当1a时，求证：函数()(2)()xgxfccR在(,1]上至多有一个零点.【答案】（1）14fxxx；（2）312（3）见解析【解析】试题分析：（1）由函数()4(,)afxxbabRx为奇函数,得0fxfx恒成立,可求b的值；由15415fa1a，从而可得函数()fx的解析式；（2）当2a时，24fxxx可判断其在区间1,4上为单调函数，最大值为3142f，要使不等式()fxt在1,4上恒成立，只要t不小于函数在区间区间1,4上的最大值即可；（3）当1a时，2422xxxagxfcc，要证gx在(,1]上至多有一个零点，只要证gx在(,1]上是单调函数即可,对此可用函数单调性的定义来解决.试题解析：解:（1）∵函数()4(,)afxxbabRx为奇函数，∴()()fxfx，即44aaxbxbxx，∴0b，2分又(1)45fab，∴1a∴函数()fx的解析式为1()4fxxx.4分（2）2a，2()4fxxx.∵函数24,yxyx在[1,4]均单调递增，试卷第3页，总63页∴函数()fx在[1,4]单调递增，6分∴当1,4x时，max31()(4)2fxf．7分∵不等式()fxt在1,4上恒成立，∴312t，∴实数t的最小值为312．9分（3）证明：()422xxagxc，设121xx，121212221112121212121222()()(42)(42)22422422242(22)(22)2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxaagxgxccaaa121212(42)(22)2xxxxxxa11分∵121xx，∴122122,42421,xxxx∵1a，即1a，∴12420xxa，又1212220,20xxxx，∴12()()0gxgx，即12()()gxgx∴函数()gx在(,1]单调递减，13分又cR，结合函数图像知函数()gx在(,1]上至多有一个零点.14分考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、函数的最值.2．（本小题满分12分）已知函数ln(,fxaxbxabR)，曲线yfx在点1,1f处的切线方程为220xy．（Ⅰ）求)(xf的解析式；（Ⅱ）当1x时，0kfxx恒成立，求实数k的取值范围；【答案】（Ⅰ）ln2xfxx；（Ⅱ）1(,]2．【解析】试卷第4页，总63页试题分析：（Ⅰ）求导数得afxbx，由导数几何意义得曲线yfx在点1,1f处的切线斜率为'1(1)2kf，且1(1)2f，联立求11,2ab，从而确定)(xf的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式等价于ln02xkxx，参变分离为2ln2xkxx，利用导数求右侧函数的最小值即可．试题解析：（Ⅰ）∵lnfxaxbx，∴afxbx．∵直线220xy的斜率为12，且曲线yfx过点1(1,)2，∴11,211,2ff即1,21,2bab解得11,2ab．所以ln2xfxx4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得当1x时，0kfxx恒成立即ln02xkxx，等价于2ln2xkxx．令2ln2xgxxx，则ln11lngxxxxx．令1lnhxxx，则111xhxxx．当1x时，0hx，函数hx在1,上单调递增，故10hxh．从而，当1x时，0gx，即函数gx在1,上单调递增，故112gxg．试卷第5页，总63页因此，当1x时，2ln2xkxx恒成立，则12k．∴k的取值范围是1(,]2．12分考点：1、导数几何意义；2、利用导数求函数的极值、最值．3．已知函数32()32fxxxax，曲线()yfx在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2．（1）求a；（2）证明：当1k时，曲线()yfx与直线2ykx只有一个交点．【答案】（1）1a；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）2'(x)3x6xaf，由导数的几何意义得'(0)kfa，故切线方程为y2ax，将点-2,0（）代入求a；（2）曲线()yfx与直线2ykx只有一个交点转化为函数32()()kx23(1k)4gxfxxxx有且只有零点．一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致图象，再说明与x轴只有一个交点．本题首先入手点为1k，当0x时，'()0gx，且g(1)k10，g(0)4，所以g()0x在(,0)有唯一实根．只需说明当0x时无根即可，因为(1k)x0，故只需说明32()340hxxx，进而转化为求函数()hx的最小值问题处理．（1）2'(x)3x6xaf，'(0)fa．曲线()yfx在点(0,2)处的切线方程为y2ax．由题设得，22a，所以1a．（2）由（1）得，32()32fxxxx．设32()()kx23(1k)4gxfxxxx．由题设得1k0．当0x时，2'()3610gxxxk，g()x单调递增，g(1)k10，g(0)4，所以g()0x在(,0)有唯一实根．当0x时，令32()34hxxx，则()()(1k)x()gxhxhx．2'()3xhx63(x2)xx，()hx在(0,2)单调递减；在(2,)单调递增．所以()()(2)0gxhxh．所以()=0gx在(0,)没有实根，综上，()=0gx在R上有唯一实根，即曲线()yfx与直线2ykx只有一个交点．考点：1、导数的几何意义；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值．试卷第6页，总63页4．已知二次函数2()21(0)gxmxmxnm在区间[0,3]上有最大值4，最小值0.（1）求函数)(xg的解析式；（2）设()2()gxxfxx.若(2)20xxfk在[3,3]x时恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）12)(2xxxg；（2）33,．【解析】试题分析：（1）根据二次函数的最值建立方程组，即可求函数()gx的解析式；（2）将(2)20xxfk在[3,3]x时恒成立进行转化为求函数最值，即可求出k的取值范围．求最值时考虑利用换元当将函数转化为求二次函数在一个闭区间上的最值．试题解析：（1）∵2()(1)1gxmxmn，∴函数)(xg的图象的对称轴方程为1x．0m依题意得(1)0(3)4gg，即10314mnmn，解得10mn，∴12)(2xxxg．（2）∵()2()gxxfxx，∴()21()4gxxfxxxx．∵(2)20xxfk在[3,3]x时恒成立，即124202xxxk在[3,3]x时恒成立，∴211()4()122xxk在[3,3]x时恒成立，只需2max11()4()122xxk．令xt21，由[3,3]x得1[,8]8t设()ht241tt，∵22()41(2)3htttt，∴函数()hx的图象的对称轴方程为2t．当8t时，取得最大值33.∴max()(8)33khth∴k的取值范围为33,．考点：1、函数恒成立问题；2、函数解析式的求解及常用方法；3、二次函数在闭区间上的最值．试卷第7页，总63页5．已知函数22()(,,)xxfxaebecxabcR的导函数'()fx为偶函数，且曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线的斜率为4c.（1）确定,ab的值；（2）若3c，判断()fx的单调性；（3）若()fx有极值，求c的取值范围.【答案】（1）1,1ab；（2）增函数；（3）4,.【解析】试题分析：（1）由22()(,,)xxfxaebecxabcR2222xxfxaebec因为fx是偶函数，所以fxfx，又曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线的斜率为4c，所以有04fc，利用以上两条件列方程组可解,ab的值；（2）由（1），22xxfxeec，当3c时，利用fx的符号判断()fx的单调性；（3）要使函数()fx有极值，必须fx有零点，由于224xxee，所以可以对c的取值分类讨论，得到时满足条件的c的取值范围.解：（1）对fx求导得2222xxfxaebec，由fx为偶函数，知fxfx，即2220xxabee，因220xxee，所以ab又022fabc，故1,1ab.（2）当3c时，223xxfxeex，那么222222322310xxxxfxeeee故()fx在R上为增函数.（3）由（1）知2222xxfxeec，而222222224xxxxeeee，当0x时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当4c时，对任意22,220xxxRfxeec，此时fx无极值；试卷第8页，总63页当4c时，对任意0,x222240xxfxee，此时fx无极值；当4c时，令2xet，注意到方程220tct有两根，21,2160,4cct即0fx有两个根111ln2xt或221ln2xt.当12xxx时，0fx；又当2xx时，0fx从而fx在2xx处取得极小值.综上，若fx有极值，则c的取值范围为4,.考点：1、导数的几何意义及导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.6．设函数2ln1fxxxax，其中0.a（1）若6a，求fx在0,3上的最值；（2）若fx在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；（3）当1a时，令3gxxxfx，试证：311lnnnnNnn恒成立.【答案】（1）参考解析，（2）10.8a（3）参考解析【解析】试题分析：（1）当6a时，对函数fx求导，在定义域内根据导函数的正负性可得到函数的单调性，即可求得函数的最值.（2）由函数fx在定义域内既有极大值又有极小值，即导函数的值为零时的根在1,上有两个不等的实数解.再根据区间根的运算即可得到结论.（3）当1a时，对()gx求导即可得到，即2323113211xxgxxxxx，所以当0,'()0xgx恒成立，由题意要证311lnnnnNnn