函数综合问题详解100例一、二次函数1已知二次函数cxbxaxxf2)(,不等式xxf2)(的解集为)3,1(.(Ⅰ)若方程06)(axf有两个相等的实根,求)(xf的解析式;(Ⅱ)若)(xf的最大值为正数,求实数a的取值范围.1、解:(Ⅰ)∵不等式xxf2)(的解集为)3,1(∴1x和3x是方程)0(0)2(2acxbax的两根∴342acab∴acab3,24又方程06)(axf有两个相等的实根∴0)6(42acab∴094)12(42aaa∴0)1)(15(aa∴51a或1a(舍)∴53,56,51cba∴535651)(2xxxf(Ⅱ)由(Ⅰ)知axaaxxf3)12(2)(2aaaaaxa3)12()12(2aaa142∵0a,∴)(xf的最大值为aaa142∵)(xf的最大值为正数∴01402aaaa∴01402aaa解得32a或032a∴所求实数a的取值范围是)0,32()32,(-2已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b是常数且a≠0)满足条件f(2)=0且方程f(x)=x有等根.(1)求f(x)的解析式.(2)问是否存在实数m,n(mn),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n].如果存在,求出m,n的值;如果不存在,说明理由.解:(1)依题设方程ax2+(b-1)x=0有等根,∴(b-1)2=0得b=1.又f(2)=0,即4a+2b=0,得21a,所以xxxf221)(,.(2)由(1)2121)1(21)(2xxf,∴212n,即41n.而抛物线f(x)的对称轴为x=1,则f(x)在[m,n]上为增函数,(2)问是否存在实数m,n(mn),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n].如果存在,求出m,n的值;如果不存在,说明理由.设m,n存在,可得:nnfmmf2)(2)(即02102122nnmm,得2020或或nm,又41nm,得02nm.故存在实数m=-2,n=0,使f(x)的定义域为[-2,0]值域为[-4,0].3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,c∈R)。(1)求证:两函数的图象交于不同的两点A、B;(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。证明(1)由bxycbxaxy2消去y得ax2+2bx+c=0Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+43)22cc2]∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0∴43c20,∴Δ0,即两函数的图象交于不同的两点。解(2)设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=-ba,x1x2=ac。|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x22222224444()4()bcbacacacaaaa22134[()1]4[()]24cccaaa∵abc,a+b+c=0,a0,c0∴a-a-cc,解得ac∈(-2,-21)∵]1)[(4)(2acacacf的对称轴方程是21acac∈(-2,-21)时,为减函数∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(32,3)4设函数,223,2)1(,)(2bcaafcbxaxxf且求证:(1)4330aba且;(2)函数)(xf在区间(0,2)内至少有一个零点;(3)设21,xx是函数)(xf的两个零点,则125724|xx|.≤证明:(1)2)1(acbaf0223cba又bca22302,03ba0,0ba又2c=-3a-2b由3a>2c>2b∴3a>-3a-2b>2b∵a>0433ab(2)∵f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a-c①当c>0时,∵a>0,∴f(0)=c>0且02)1(af∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点②当c≤0时,∵a>00)2(02)1(cafaf且∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点(3)∵x1,x2是函数f(x)的两个零点则0,221cbxaxxx是方程的两根∴abacxxabxx23,21212)2()23(4)(4)(||222122121abababxxxxxx433ab125724|xx|≤5已知二次函数2()fxaxbxc.(1)若(1)0f,试判断函数()fx零点个数;(2)若对12,xxR且12xx,12()()fxfx,试证明012(,)xxx,使0121()[()()]2fxfxfx成立;(3)是否存在,,abcR,使()fx同时满足以下条件①对xR,(4)(2)fxfx,且y∈[0,+∞);②对xR,都有210()(1)2fxxx.若存在,求出,,abc的值,若不存在,请说明理由.解(1)∵(1)0f,∴0abc,故bac2224()4()bacacacac,当ac时0,函数()fx有一个零点;当ac时,0,函数()fx有两个零点。(2)令121()()[()()]2gxfxfxfx,则11121211()()[()()][()()]22gxfxfxfxfxfx22122111()()[()()][()()]22gxfxfxfxfxfx∴212121()()[()()]04gxgxfxfx(12()()fxfx),∴()0gx在12(,)xx内必有一个实根,即012(,)xxx,使0121()[()()]2fxfxfx成立(3)假设,,abc存在,由①知抛物线的对称轴为1x,且min()0fx,∴12ba,2404acbac,∴2ba,24bac,从而ac由②知对xR,都有210()(1)2fxxx,令1x得0(1)10f,∴(1)10f,即(1)1f,∴1abc由12abcbaac得14ac,12b,当14ac,12b时,221111()(1)4244fxxxx,其顶点为(1,0)满足条件①,又21()(1)4fxxx对xR,都有210()(1)2fxxx满足条件②.∴存在,,abc,使()fx同时满足条件①、②.解法2:假设,,abc存在,由①知抛物线的对称轴为1x,且min()0fx,∴12ba,2404acbac,∴2ba,24bac,从而ac,2()2fxaxaxaxR,都有210()(1)2fxxx,()0fxx对xR恒成立,2221(21)0,(21)404axaxaaaa①21()(1)2fxxx对xR恒成立,2221111()(22)()0,(22)4()02224axaxaaaa②所以:14ac,12b,∴存在,,abc,使()fx同时满足条件①、②.6.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为实数),满足a-b+c=0,对于任意实数x都有f(x)-x≥0,并且当x∈(0,2)时,有f(x)≤221x.(1)求f(1)的值;(2)证明:ac≥161;(3)当x∈[-2,2]且a+c取得最小值时,函数F(x)=f(x)-mx(m为实数)是单调的,求证:m≤21或m≥23..解:(1)∵对于任意x∈R,都有f(x)-x≥0,且当x∈(0,2)时,有f(x)≤221x.令x=1∴1≤f(1)≤2211.即f(1)=1(2)由a-b+c=0及f(1)=1.有1cba0cb-a,可得b=a+c=21.又对任意x,f(x)-x≥0,即ax2-21x+c≥0.∴a>0且△≤0.即41-4ac≤0,解得ac≥161.(3)由(2)可知a>0,c>0.a+c≥2ac≥2·161=21.当且仅当21caca时等号成立.此时a=c=41.∴f(x)=41x2+21x+41,F(x)=f(x)-mx=41[x2+(2-4m)x+1].当x∈[-2,2]时,f(x)是单调的,所以F(x)的顶点一定在[-2,2]的外边.∴242m≥2.解得m≤-21或m≥23.7.已知)(xf为二次函数,不等式02)(xf的解集为1(1,)3,且对任意,R恒有(sin)0f,(2cos)0f.数列}{na满足11a,1131()()nnanfaΝ(Ⅰ)求函数)(xf的解析式;(Ⅱ)设nnab1,求数列}{nb的通项公式;(Ⅲ)若(Ⅱ)中数列}{nb的前n项和为nS,求数列{cos()}nnSb的前n项和nT.解:(Ⅰ)依题意,)31)(1(2)(xxaxf)0(a,即2332)(2axaaxxf令,2,则sin1,cos1,有(1)0,(21)0ff,得0)1(f,即02332aaa,得23a.235()22fxxx.(Ⅱ)'()31fxx,则1311311'()3131nnnnnaafaaa即131nnnaaa,两边取倒数,得nnaa1311,即nnbb31.数列{}nb是首项为1111ab,公差为3的等差数列.1(1)332()nbnnnN.(Ⅲ)cos()cos(32)cos()(1)nnbnncos()(1)nnnnSbSnnnSSSSST)1(4321.(1)当n为偶数时2143124()()()nnnnTSSSSSSbbb22()322(432)244nnbbnnnn(2)当n为奇数时213(1)2(1)(132)42nnnnnnnTTS23214nn8.设函数f(x)=ax2+bx+c,a、b、c都是正实数,且f(1)=1.(Ⅰ)若x>0,证明:f(x)·f(x1)≥1;(Ⅱ)若正实数x1、x2、x3满足x1·x2·x3=1,证明:f(x1)·f(x2)·f(x3)≥1.证明:(Ⅰ)∵f(1)=1∴a+b+c=1当x>0时f(x)·f(x1)=(ax2+bx+c)·(cxbxa112)=a2+b2+c2+ab(x+x1)+bc(x+x1)+ca(x2+21x)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2=1当且仅当x=1时取得等号.(Ⅱ)(ⅰ)若x1=x2=x3=1,则显然有f(x1)·f(x2)·f(x3)=1.(ⅱ)若x1、x2、x3不全相等,则其中必有xi>1,xi<1,i,j∈{1,2,3}(i≠j),不妨设x1>1,x2<1,∵x1·x2·x3=1∴由(1)可知f(x1x2)·f(x3)≥1,∵a、b、c为正实数∴任意取x>0有f(x)>0故只需证f(x1)·f(x2)≥f(x1x2)即可.∵f(x1)·f(x2)=(21ax+bx1+c)·(22ax+bx2+c)=)()()(222121221221221222212xxcaxxbcxxxxabcxxbxxaf(1)·f(x1x