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考纲泛读高考展望①理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．②能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．③掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式、截距式、斜截式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．我们不妨为高考命题专家设计一下：解析几何是高考必考的，而且要考大题，但新课标对圆锥曲线的要求降低了，那么2012年高考会怎样考呢？直线与圆的方程既可以考查运算、推理、数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想和方法，又符合在知识交汇处命题以及以能力立意的指导思想，考纲泛读高考展望④能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．⑤理解两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．⑥掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．⑦能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆及两圆的位置关系．⑧能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．⑨了解用代数方法处理几何问题的思想.再说圆有那么美的对称性，直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系有那么丰富的内容，并且与平面几何又结合得那么紧，至少直线与圆的结合是可以出一个很好的大题吧！至于填空题，直线的倾斜角和斜率、求直线方程、点到直线的距离、求圆的方程、直线与圆的位置关系或者两圆的位置关系，等等，哪一个知识点不可以出一个好题呀！求直线的方程【例1】求分别满足下列条件的直线l的方程．(1)直线l过点P(1,2)，倾斜角是直线l1：3x＋4y＋5＝0的倾斜角的一半；(2)直线l过点M(0,1)，且被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M平分．12.34503tan2.4231tantan2tan31431tan901803180360tan3.1,223(1011)3.lklxytantanklPlyxxy设直线的斜率为，倾斜角为设直线：＋＋＝的倾斜角为，则＝－，且＝由＝＝＝－，得＝－或若＝－，则从而，不合题意，所以＝＝又直线过点，由点斜式得直线的方程为－＝－，即－【－】＝解析12112,2122121(310)(82)(310)04,(82)22(4,2)4,00420444.240lllAyyBxxABMyxxyxyABAByxlxy设直线与直线和直线分别交于－，、－．因为线段的中点是，所以解得所以、的坐标分别为－、．由两点式得直线的方程为＝即＋－＝本题考查直线方程的基础知识和基本方法，主要考查点斜式和两点式．第(1)问已知直线过一定点，倾斜角又是已知直线的倾斜角的一半，用三角函数公式可以把它们的斜率联系起来，故而想到设点斜式方便一些．应该注意的是，倾斜角是另一直线的倾斜角的一半，并不意味着斜率也是一半！第(2)问解法很多，本解法是用中点方法再结合两点式，这样解决比较简便一些．310,2;52(2,4)12llAlAxyBCBAAC求分别满足下列条件的直线的方程．直线过点，它的倾斜角的正弦值为直线过点－，分别交轴、轴于、两点，且满足＝【变式练习1】34sincos55sin3tancos4324348034810.lkklyxxyxy设【直线的斜率为，倾斜角为，则由＝，得＝，所以＝＝＝由点斜式得直线的方程为－＝即－＋＝或＋－析＝解】1,0(0)(2,4)(24)2(2)231,8412213124120.2xylabBaCbBAaACbaaBAACbbxylxy设直线的方程为＋＝，则，，，＝－－，＝，－．由＝，得解得所以直线的方程为＋＝，即－＋＝基本不等式与直线方程的综合问题【例2】已知直线l过点M(2,1)，且与x轴的正半轴交于A点，与y轴的正半轴交于B点，O是坐标原点，求：(1)当△AOB的面积取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，直线l的方程．1(00).212,11.21212,8.11··422211422(1)4.1240.42AOBxylababOAaOBblMababababSOAOBabababAOBxylxy依题意，设直线的方程为＋＝，，则＝，＝因为直线过点，所以＋＝由＝＋得所以＝＝，当且仅当＝＝，即＝，＝时，的面积取得最小值所以直线的方程为＋＝，即＋【－解＝析】222.0.2,11(2)10(20)0(0,12)1·22122112lkklMlykxyAkxBkMAMBkk设直线的斜率为由题意知因为直线过点，所以直线的方程为－＝－．当＝时，得点的坐标是－，；当＝时，得点的坐标是－．则＝2222222211411221222411·4.1(1)(2)30.kkkkkkkkkMAMBlyxxy＝＝＝，当且仅当，即＝－时，取得最小值所以直线的方程为－＝－－，即＋－＝直线方程的形式不只一种，因此设法很关键．求过定点的直线方程往往用待定系数法．本题第(1)问中，因△ABC是直角三角形，面积显然与x轴、y轴上的截距关系密切，因而将直线方程设为截距式较好；第(2)问如果选择截距式，运算将非常繁杂，用点斜式或斜截式会好很多．值得欣慰的是，本题两问都可以用基本不等式较为快捷地解决．【变式练习2】已知直线l过点M(1,1)，且与x轴的正半轴交于A点，与y轴的正半轴交于B点，O是坐标原点．求：(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．1(00).111,1111()()222424.210xylababOAaOBblMabOAOBabababbabaababbaabOAOBablxy依题意，设直线的方程为＋＝，，则＝，＝因为直线过点，所以＋＝，所以＋＝＋＝＋＋＝＋＋＋＝，当且仅当，即＝＝时，＋取得最小值所以直线的方程为【＋】－析＝解222.0.1,11(1)10(10)0(0,1)11(11)121lkklMlykxyAkxBkMAkk设直线的斜率为由题意知因为直线过点，所以直线的方程为－＝－．当＝时，得点的坐标是－，；当＝时，得点的坐标是－因为＝－＋＋＝＋2222222222222|1(11)1112()224114.1(1)(1)20.MBkkMAMBkkkkkkkMAMBlyxxy＝＋－＋＝＋，所以＋＝＋＋＋＝，当且仅当=，即＝－时，＋取得最小值所以直线的方程为－＝－－，即＋－＝直线方程的应用【例3】某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建造一幢商业住宅．已知BC＝70m，CD＝80m，DE＝100m，EA＝60m，问如何设计才能使住宅楼占地面积最大？并求出最大面积(精确到1m2)．0,2030,01.30202()20.32(100)m[80(20)]m3ABABxyABPxyyxPCDDEFGPFDGxx如图建立直角坐标系，则，．故线段所在的直线方程为＋＝设线段上一点的坐标为，，则＝－由分别向、作垂线，垂足分别为、，则得到长方形，其边长分别为－和－－【解析】22222(100)[80(20)]3220600033250(5)6000(030)335056017m.350(5)6017m.3PFDGSxxxxxxxyP则长方形的面积＝－－－＝－＋＋＝－－＋＋．所以，当＝，＝时，其面积最大，为即当，时，长方形的面积最大，为本题是一个生活实际问题，解法不只一种．像上面这样利用直线方程来解决是比较好的一种方法．因为要使得占地面积尽可能地大，线段AB上不取点是不现实的，而线段AB所在的直线方程可以用截距式很方便地写出，P点的横、纵坐标x、y满足，就可以消去一个未知量了，何乐而不为呢？13020xy＋＝【变式练习3】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求实数k的取值范围；(3)若直线l与x轴的负半轴交于A点，与y轴的正半轴交于B点，O是坐标原点，△AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程．1(2)(2)(1)0202,101(2,1)21.00.210[0)lxkyxxyyllykxklkkkk【解析】证明：将直线的方程化为＋＋－＝令解得即直线过定点－．将直线的方程化为：＝＋＋欲使直线不经过第四象限，必须,即所以实数的取值范围是，＋．2120.0120012.0.1201212.1344111222224222211222240kkyxkkxxykkkykkOAOBkkkkSOAOBkkkkkkkklxy显然存在且不为当＝时，＝－；＝－当＝时，＝＋由题意，，所以＝＋所以＝，＝＋所以＝＝＝＋＋＋＝当且仅当＝，即＝时，上式等号成立．所以此时直线的方程为－＋＝1.m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5必经过定点_____________.(9，－4)(21)(5)02109504(94)mxyxyxyxxyy由直线得：＋－＋－－＋＝，所以有，解得故直线必经过定点，【析－解】．2.2310[]64.mxym若直线＋＋＝的倾斜角，，则实数的取值范围是_____________33[]22 －，－ 3[]tan1643323313322kmm【因为，，所以＝，即－，所以－】－解析3.已知直线l被坐标轴截得线段中点是(1，－3)，则直线l的方程是__________________.3x－y－6＝02,0(06)026360.lxylxy直线与坐标轴的交点坐标为、，－，故由截距式可求直线的方程是＋＝，即－【－】＝解析4.过点(4，－3)的直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程．【解析】(1)当直线l过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0.故满足条件的直线方程是3x＋4y＝0.1.43(43)111110717770.2xylablababababalxyababalxy当直线不过原点时，方程可设为＋＝因为直线过点，－，所以－＝又＝故当＝时，＝，所以＝＝，则直线的方程为＋－＝；当＝－时，＝，所以＝，＝－，则直线的方程为－－＝5.在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．125()023053.2(53)5(0)1,02015250.50102xCxyyxyCMNyxMNxy设点，，由题意得＝，＝，得＝－，＝－故所求点的坐标是－，－．点的坐标是，－，点的坐标是，直线的方程是，即－析－【＝解】本节内容主要从两个方面考查：一是如何利用题目给出的条件求直线方程，多用待定系数法，需要仔细审题，判明设直线方程的哪一种形式更为方便，并且要分类讨论，考虑周全，以免漏解；二是直线方程的应用，包括用直线方程解决实际问题，也包括给出一个含参数的直线方程，根据条件讨论参数的取值范围等．1．用待定系数法求直线方程时，要考虑特殊情形，以防丢解．下面列出直线方程的形式及注意事项：名称条件方程注意事项点斜式已知直线的斜率为k且过点(x0，y0)y－y0＝k(x－x0)记得把直线x＝x0“捡回来”斜截式已知直线的斜率为k、纵截距为by＝kx＋b记得把k不存在的直线“捡回来”名称条件方程注意事项两点式已知直线过两点(x1，y1)、(x2，y2)记得把直线x＝x1和直线y＝y1“捡回来”截距式直线在x、y轴上的截距分别是a、b记得把过原点的直线及平行于坐标轴的直线“捡回来”一般式Ax＋By＋C＝0注意B＝0和A＝0的陷阱112121yyxxyyxx＝1xyab2.用待定系数法求直线方程的步骤：(1)根据判断，设所求直线方程的一种形