2012届浙江省高考数学文二轮专题复习课件：第10课时 数列的通项与求和

1专题三数列21111111223()45(01)nnnnnnnnaSnnaSSnaafnfnaAaBAA．求通项公式的方法观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式；利用前项和与通项的关系；公式法：利用等差比数列求通项公式；累加法，如，累积法，如；转化法：，且．32121321214nnnnnnnnncababcabann．数列求和要先研究数列的通项，根据通项选择方法，化归为基本数列求和若，是等差数列，是等比数列，则利用错位相减法；若，则用分组求和法，其中分组的方法比较灵活；裂项法，形如等；倒序相加法．4112237812*ICME71(201(31.)1)nnnnOAAAAAAAOAOAOAanaaN如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的，其中如果把图中的直角三角形继续下去，并记，，，的长度组成的数列为，试写出数列满足的一个递推公式，并求【月绍兴一中模的通例】拟项公式．1.构造法求通项522112*11111(2)11111.由题意，根据直角三角形的边长关系得出数列的递推关系为，且，通过换元可设，则有，，，因此数列是一个以为首项，为公差的等差数列，所以，所以nnnnnnnnnaaababbnanNbbbnnn这是一个需要通过换元构造等差数列才能化解的问题，破解的关键是根据题意列出递推公式，即根据直角三角形三边的平方关系列出数列的递推关系．6这类问题构造法的运用前提则通过换元将复杂的平方问题转化为一次项的减法问题，易于发觉通过化归为等差数列的通项公式进行求解，因此要特别注意换元构造法的使用，使用的目的是化复杂为简单或已知的等差数列、等比数列.701114(20113)()2nnnnnaaaaanaN已知数列的各项都是正数，且满【变式训足，，求数列月舟山中学模拟练】的通项公式．8122121210 142242422220221nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa此题通过退一步得一个等式，用两式相减或相加都不行，因此此题入手较难；此题的关键是通过两边取对数构造出一个简单的递推公式，然后用配凑法构造等比数列求解．由，得，则，因为，若，则，这样，数列是一个常数数列，与矛盾，921111101111212222lg2lg22lg2lg22lg213lg22lg214122lg2lg2lg22lg2lg222lg22lg221lg2lg2lg2nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaabbbbbaababba故，所以将等式两边取对数可得，不妨令，则，配凑得．又，，，所以，所以，又2122.nnnab，所以10*1*62()()(2013.142)0122nnnnnnnnnnyfxfxxanSnSnyfxabTbnaamTnmNN已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点，均在函数的图象上．求数列的通项公式；设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的【例】最小正月柯桥中学模拟整数2.裂项法求和1122*2122211(0)2.623232.()()32.232312165.1312665(115nnnnnnfxaxbxafxaxbfxxabfxxxnSnyfxSnnnaSSnnnnnnaannSNN设二次函数，则由于，得，，所以又因为点，均在函数的图象上，所以当时，当时，，所以*)．1211*33165[615]111()26561111111[(1)()()]27713656111(1)26111(1)26120110.22021.0nnnnniibaanmnnnTbnnnmnmnmmN由得，故．因此，要使＜对恒成立，则必须且仅需满足，最小正整即所以满数的为足要求13本小题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力，其中裂项相消法的应用是解决本题的关键步骤，对通项进行合理的分拆，然后相消，以达到最常化简见的目的．的数列：14111111111()111nnnannnnannkknnkannnn①，②，③，形如这样的数列每一项可以分为两项，先后相互相消求和．15*112341223121()2(20114)(2)1322nnnnnnnaaaanaaaaaaaaaaanN【变式训练】已知数列中，，．求，，；证明：数列是等差数月列；试判断与的大小关系，并绍兴一中模拟加以证明．162341111112231212.325211111112211{}1211111.222111144()1111111114[()()(233412213nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannaaaaannnnnaaaaaanan，，因为，所以，，因此是以为首项，公差为的等差数列，则，所以，，即有11)]4()2.121nn17121133(2010)3{}1{2}1nnnnnnnnCCCxyxnCCrCrrnrnr，，，，是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数，圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列．证明：为等比【例】安徽卷数列；设，求数列的前项和．3.错位相减法求和18求证等比数列，可从两个方面出发，一是等比数列的定义，即证；二是等比中项，即证1=nnaqa211nnnnaaaa191111113331tansin.32(,0)12{}3.222231.nnnnnnnnnnnnnnnnnnyxCrrrrrrqrrrr将直线的倾斜角记为，则有，设的圆心为，则由题意知故为公，得同理，从而，将代入，比的等解得比数列．20111121211211211333.121233331323(1)33.3213333313333()3.222342912nnnnnnnnnnnnnnnnnnnrqrnrnSrrrSnSnnSnnnS由于，，故，从而记，则有，①②①②得，故113()39(23)34.2nnnn21第(1)小题充分利用平面几何中两圆外切的充要条件，找出rn+1与rn之间的等量关系，从而结合定义得证；第(2)小题，由(1)可知rn的通项公式，观察新数列{}知，可利用错位相减法求和，培养推理论证能力．nnr22an=Sn-Sn-1(n≥2)是数列中一个非常重要的公式，任何数列都满足这个公式．当题目的条件中出现an与Sn的关系式时，这个公式可作为突破口．另外，错位相减法作为一种重要的求和方法，也要熟练掌握．21122{}{}423.1{}22nnnnnnnnnnnnaSanSaaabTababab已知数列的各项均为正数，是数列的前项和，且求数列的通项公式；己知，【变式训练】求的值．232111112211122112211111111314243423242342()2()0()(2)002(2{}1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSaaaSaanSaaaaaaaaaaaaaaaaaaana当时，，解得，又①当时，②①②得，，即，所以，因为，所以，所以数列32(11322).nann所以是以为首项，为公差的等差数列，241223111123113252(21)223252(21)2(21)2322(222)(21)26822(2(21)2221)2nnnnnnnnnnnnTnTnnTnn③又④④③得，251．证明一个数列是等差(比)数列，常用两种基本方法：①定义法；②等差(比)中项法(注意等比数列中an≠0)．2．等差(比)数列的通项公式an与前n项和Sn，共涉及五个量：n，d(q)，an，Sn，a1，这五个量知二求三，体现了方程的思想，做题时，选用公式要恰当，善于减少运算量，达到快速、准确求解的目的．3．运用等比数列求和公式时，需对q=1和q≠1进行讨论．264．求通项、求和的通项要运用转化思想，转化为等差、等比数列．5．在解数列问题时，除常用数学思想方法的运用外，还要特别注意，在解题中一定要有“目标意识”．