浙教版八年级上册-数学-第2章特殊三角形-《等腰三角形的性质定理1》

第3节等腰三角形的性质第1课时等腰三角形的性质定理1第2章特殊三角形123456789提示：点击进入习题答案显示习题链接DADCCAADD13提示：点击进入习题答案显示习题链接12101120°15°45°或36°证明见习题14151617证明见习题(1)证明见习题(2)∠DFC＝60°(1)证明见习题(2)∠BDE＝69°(1)∠β＝90°(2)∠α＋∠β＝180°，理由见习题1．【中考•盐城】若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为()A．40°B．50°C．60°D．70°D2．【2018·兰州】如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝65°，则∠2的度数是()A．50°B．60°C．65°D．70°A3．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为()A．25°B．60°C．85°D．95°D4．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是()A．180°B．220°C．240°D．300°C5．【2017·台州】如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是()A．AE＝ECB．AE＝BEC．∠EBC＝∠BACD．∠EBC＝∠ABEC6．【中考·泰安】如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝44°，则∠P的度数为()A．44°B．66°C．88°D．92°【点拨】∵PA＝PB，∴∠A＝∠B.在△AMK和△BKN中，AM＝BK，∠A＝∠B，AK＝BN，∴△AMK≌△BKN.∴∠AMK＝∠BKN.∵∠MKB＝∠MKN＋∠NKB＝∠A＋∠AMK，∴∠A＝∠MKN＝44°.∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°.故选D.7．【中考·枣庄】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线交于点D，则∠D等于()A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°A8．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于()A．20°B．30°C．35°D．40°B9．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是()A．30°B．60°C．150°D．30°或150°【点拨】如图①，当△ABC为锐角三角形时，BD⊥AC，∠ABD＝60°.由三角形内角和为180°，可得等腰三角形的顶角为30°.如图②，当△ABC为钝角三角形时，BD⊥AC，交CA的延长线于点D，∠ABD＝60°.由三角形内角和为180°，可得∠BAD＝30°，所以等腰三角形的顶角为150°.故选D.10．【中考·泰州】如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于________．20°11．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________．15°12．【中考·宿迁】如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.证明：因为AB＝AD＝AC，所以∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D.又因为AD∥BC，所以∠DBC＝∠D.所以∠ABD＝∠DBC.所以∠C＝∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝2∠D.13．【2018·浙江杭州上城期中】已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，连结AD.若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数为____________．【点拨】如图①，当AD＝BD，AD＝CD时，∵AB＝AC，∴△ADB≌△ADC.∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴∠C＝45°.如图②，当AB＝BD，CD＝AD时，∠BDA＝∠BAD，∠C＝∠DAC.∴∠BDA＝∠C＋∠DAC＝2∠C.∴∠BAD＝2∠C.∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－(∠BAD＋∠DAC)－∠C＝180°－(2∠C＋∠C)－∠C＝180°－4∠C.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴180°－4∠C＝∠C.∴∠C＝36°.【答案】45°或36°证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF.∴∠FAD＝∠ADF.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD.∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∴∠FAC＝∠B.∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF.14．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连结AF.求证：∠BAF＝∠ACF.15．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.(1)求证：AD＝CE；证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠EAC＝∠B＝60°，AC＝BA.又∵AE＝BD，∴△AEC≌△BDA(SAS)．∴AD＝CE.(2)求∠DFC的度数．解：(1)知△AEC≌△BDA，∴∠ACE＝∠BAD.∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACE＝∠FAC＋∠BAD＝60°.16．【2017·苏州】如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；证明：在△AOD和△BOE中，∵∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOE，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，AE＝BE，∠AEC＝∠BED，∴△AEC≌△BED(ASA)．(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．解：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°，∴∠BDE＝∠C＝69°.17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠α，点D是边BC上一动点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转∠α后到达AE位置，连结DE，CE，设∠BCE＝∠β.(1)如图①，若∠α＝90°，求∠β的大小；解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°.∵∠DAB＝∠α－∠DAC，∠EAC＝∠α－∠DAC，∴∠DAB＝∠EAC.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC.∴∠ECA＝∠B＝45°.∴∠β＝∠ACB＋∠ECA＝90°.(2)如图②，当点D在线段BC上运动时，试探究∠α与∠β之间的数量关系，并说明理由．解：∠α＋∠β＝180°.理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝∠α，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE.∴∠B＝∠ACE，∴∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB.又∵∠ACE＋∠ACB＝∠BCE＝∠β，∴∠B＋∠ACB＝∠β.∵∠α＋∠B＋∠ACB＝180°，∴∠α＋∠β＝180°.