05-第五节---函数展开成幂级数

第五节函数展开成幂级数前面几节我们讨论了幂级数的收敛域以及幂级数在收敛域上的和函数.现在我们要考虑相反的问题，即对给定的函数)(xf，要确定它能否在某一区间上“表示成幂级数”，或者说，能否找到这样幂级数，它在某一区间内收敛，且其和恰好等于给定的函数)(xf.如果能找到这样的幂级数，我们就称函数)(xf在该区间内能展开成幂级数,而这个幂级数在该区间内就表达了函数).(xf分布图示★引言★泰勒级数的概念★麦克劳林级数★函数展开成幂级数—直接法★例1★例2★例3★例4★例5★常用麦克劳林展开式★函数展开成幂级数—间接法★例6★例7★例8★例9★例10★例11★例12★例13★内容小结★课堂练习★习题12—5★返回内容要点一、泰勒级数的概念：函数的泰勒展开式；函数的麦克劳林展开式；如果函数)(xf能在某个区间内展开成幂级数，则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数.即，没有任意阶导数的函数是不可能展开成幂级数的.可证明，如果)(xf能展开成x的幂级数，则这种展开式是唯一的，它一定等于)(xf的麦克劳林级数.二、函数展开成幂级数的方法：直接法：直接将函数展成泰勒级数；间接法：利用已知的函数展开式（七个基本函数的麦克劳林展开式），通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式.这种方法我们称为函数展开成幂级数的间接法.例题选讲利用直接法将函数展开成幂级数例1（E01）将函数xexf)(展开成x幂级数.解由,)()(xnexf得1)0()(nf),,2,1,0(n于是)(xf的麦克劳林级数为nxnxx!1!2112该级数的收敛半径为.R对于任何有限的数x、(介于0与x之间)，有|)(|)(xRn1)!1(nxne.)!1(||1||nxenx因xe有限,而)!1(||1nxn是级数01)!1(||nnnx的一般项，所以)!1(||1||nxenx0),(n即有,0)(limxRnn于是xe,!1!2112nxnxx).,(x例2（E02）将函数xxfsin)(展成x的幂级数.解)()(xfn2sinnx),2,1,0(n)0()(nf顺序循环地取,1,0,1,0),,2,1,0(n于是)(xf的麦克劳林级数为)!12()1(51!311253nxxxxnn该级数的收敛半径为.R对于任何有限的数x、(介于0与x之间)，有)(xRn1)!1(2)1(sinnxnn)!1(1nxn有)(xRn)!1(1nxn0),(n于是xsin,)!12()1(!31123nxxxnn).,(x例3（E03）将函数xxfcos)(展成x的幂级数.解利用幂级数的运算性质,由xsin的展开式xsin,)!12()1(!5!31253nxxxxnn),(x逐项求导得xcos,)!2()1(!4!21242nxxxnn),(x例4（E04）将函数)1ln()(xxf展成x的幂级数.解因为,11)('xxf而x11,)1(132nnxxxx)1,1(x在上式两端从0到x逐项积分,得)1ln(x,1)1(!3!2132nxxxxnn]1,1(x上式对1x也成立.因为上式右端的幂级数当1x时收敛，而上式左端的函数)1ln(x在1x处有定义且连续.例5（E05）将函数)()1()(Rxxf展开成x的幂级数.解)(xf,)1(1axa)(xf,)1)(1(2axaa…)()(xfn,)1)(1()2)(1(naxnaaaa…所以,1)0(f,)0('af),1()0(''aaf…),1()1()0()(naaafn…于是)(xf的麦克劳林级数为2!2)1(1xaaaxnxnnaaa!)1()1()1(该级数相邻两项的系数之比的绝对值nnaa11nna1),(n因此，该级数的收敛半径,1R收域区间为).1,1(设级数(1)的和函数为),(xs则可求得,)1()(nxxs)1,1(x即axxa1)1(nxnnaaa!)1()1()1,1(x(2)在区间的端点1x处，展开式(2)是否成立要看a的取值而定.可证明:当1a时，收敛域为);1,1(当01a时，收敛域为];1,1(当0a时，收敛域为].1,1[公式(2)称为二项展开式.特别地,当a为正整数时，级数成为x的a次多项式，它就是初等代数中的二项式定理.例如，对应21a、21a的二项展开式分别为,64231421211132xxxx];1,1[x].1,1(,64253142312111132xxxxx例6将函数xsin展开成4/x的幂级数.解)]4/(4/sin[sinxx)4/sin()4cos()4(cos)4sin(xx)]4sin()4[cos(21xx!4)4/(!2)4/(1[2142xx!5)4/(!3)4/()4/(53xxx]!3)4/(!2)4/()4/(1[2132xxx).(x利用间接法将函数展开成幂级数例7（E06）将函数xxfarctan)(展开成x的幂级数.解201arctanxdxxxdxxxxnnx])1(1[2420,12)1(51311253nxxxxnn).1,1(x当1x时，级数012)1(nnn收敛;当1x时，级数0112)1(nnn收敛.且当1x时，函数xarctan连续，所以,12)1(5131arctan1253nxxxxxnn].1,1[x例8（E07）将函数xxxxxfarctan2111ln41)(展开成x的幂级数.解由于11121)1111(41)('2xxxxf,111114044nnnnxxx且,0)0(f所以dxxdxxfxfnnxx)()()(1400).1,1(,14114xnxnn例9（E08）将函数213x展开成x的幂级数.解3ln2221213333xxxe,23ln!3123ln!2123ln133322xxx).,(x例10将函数234lnxx展开成x的幂级数.解)4)(1ln()34ln(2xxxx)4ln()1ln(xx而)](1ln[)1ln(xx3)(2)()(32xxx)11(x)41(4ln)4ln(xx)41ln(4lnx32)4(31)4(2144lnxxx)44(x所以)34ln(2xx332232434244ln32xxxxxx).11(192633217434ln32xxxx例11将函数21xxf展开成2x的幂级数.解因为2)2(11xx221121x32222222121xxxnnnnx)2(2)1(210).2|2(|x逐项求导,得,)2(2)1(211112nnnnxnx所以11112)2(2)1(1)(nnnnxnxxf).40(x例12（E09）将函数341)(2xxxf展开成)1(x的幂级数.解341)(2xxxf)3)(1(1xx)3(21)1(21xx,4118121141xx而0)1(2)1(41)211(41nnnnxx),31(xnnnnxx)1(4)1(81)411(810),53(x故nnnnnxxx)1)(2121()1(34132202).31(x例13（E10）将xxxf41)(展开成1x的幂级数,并求).1()(nf解)1(3141xx)311(31x],)31()31(311[312nxxx,3|1|xxxxx41)1(41,3)1(3)1(3)1()1(313322nnxxxx.31x于是,31!)1()(nnnf故.3!)1()(nnnf课堂练习1.将函数)21ln(2xx展开成x的幂级数.2.将函数3)1(1)(xxxf展开成x的幂级数.3.设函数2)(xexf,求)0()(nf.