19数学通性通法

第1页共30页通性通法第一章函数与导数一、知识结构：解析式函数的三要素定义域值域单调性函数的性质奇偶性周期性函数列表、描点、连线函数图象的画法基本初等函数的图象背诵图象变换二次函数三次函数四种重要的函数指数函数对数函数二：知识梳理：一般说来，研究函数问题首先要研究函数的三要素，首先看有没有解析式，没有解析式（自己要求，常见方法为待定系数法），题目直接给解析式，自己要识别名称（基本初等函数、复合函数、分段函数、抽象函数）或恒等变形，然后自觉研究函数的性质，最后思考所要研究的问题与前面所研究内容之间的联系。1．1、定义域（！）概念；使解析式有意义的自变量的取值的集合；（2）确定函数的定义域需要注意的几种限制条件；①分母中的数不能为零；②在偶次根号下的数非负；③对数的真数为正；④实际问题中的量要有意义；⑤同时有几个限制条件，求它们的交集；（3）做函数题目一定要有定义域意识,定义域意识应该贯穿于解函数题目的始终。第2页共30页1．2、求函数值域的方法(含最值问题的求法)三个步骤：解此类问题先要求解析式，再求定义域，在此基础上选择方法。（！）画函数图像（如：基本初等函教①一元一次函数；②一元二次函数；③指数函数；④对数函数；⑤三角函数的值域或是一切能够画出图象的函数值域的求法）。（2）换元法（复合函数的值域或是能够换元解决的函数值域的求法）。（3）平均值不等式。（4）利用函数的单调性(思维的转向：需要转而判断函数的单调性)。（5）利用式子的结构特点。（6）求导。1．3、函数的奇偶性（1）概念；如果对于函数()fx的定义域内的任意一个x，都有()()fxfx那么函数()fx是奇函数，以此迁移偶函数。（2）判断方法；①用图像来判断；②用解析式判断：在定义域关于原点对称的前提下，用)()(xfxf判断；看见函数中含有指数式或对数式,转化为判断0)()(xfxf；用几个函数的奇偶性来判断,如)()(),()(xgxfxgxf等形式。（3）性质应用。①关于图像(含定义域对称问题)；②关于解析式对于定义域内的任意x，均有)()(xfxf恒成立(赋值型恒成立)；奇函数在零点有定义时,0)0(f；偶函数()()fxfx。1．4、函数的单调性（1）概念；一般地，设函数()yfx的定义域为I，如果对于属于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值12.xx，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说()yfx在区间D上是增函数，以此类推。（2）判断方法；①用函数图像判断；②用解析式判断：定义法(用于解答题,实质上是比较大小)；依据函数的单调性的定义证明函数单调性的步骤有：取值、作差变形（一般都要分解到出21xx为止）、定号（我们这一阶段主要出现过4种定号的方式：因式分解、配方、分子有第3页共30页理化、logab等）、判断。复合函数的单调性。分拆。求导。（3）性质应用。①用于画图像；②用于解析式：比较大小(()yfx在D上是增函数，12,xxD，1212()()xxfxfx；解不等式(()yfx在D上是增函数，12,xxD，1212()()fxfxxx)；求函教的值城(或最值)。求值域或最值。等价转化为导函数恒大于（或小于）0。1．5、函数的周期性（1）判断方法；①用函数图像判断；②用解析式判断：对于定义域内的任意x，)()(xftxf(定义法)；带有三角符号的函数,在求周期时一定要化成标准形式,即kxAfy)(。（2）性质应用。①用于画图像；②用于解析式：)()(xftxf恒成立(赋值型的恒成立问题)。1．6、函数图象自身的对称性对于函数()fx，如果满足条件)()(xbfxaf，则函数)(xfy的图像关于直线2bax对称；特殊地，如果满足条件)()(xafxaf，则函数)(xfy的图像关于直线ax对称，反之也成立。1．7、图象画函数图象常有三种方法。（1）列表、描点、连线；（2）基本初等函数的图像直接记忆：①一元一次函数；②反比例函数；③一元二次函数(画一元二次函数的图像有三个要点：图像的开口方向；函数的对称轴以及在对称轴时所取得的函数值；图像与x轴的交点坐标)；第4页共30页④指数函数(特征点：(0,1))；⑤对数函数(特征点：(1,0))；⑥三角函数（五点法）（3）图像变换(两个函数解析式之间的联系导致函数图像间的关联)：①平移变换：（上下平移与左右平移）②对称变换：③伸缩变换④翻折（绝对值）变换：1．8、重要函数（1）一元二次函数；求二次函数解析式的方法，待定系数法。根据所给条件的特点，可以选择一般式、顶点式、双根式中的一种来求：①已知三个点的坐标时，宜用一般式：cbxaxy20(a）；②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（最小）值有关，常用顶点式：nmxay2)(0(a）；③已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用双根式：))((21xxxxay0(a）更方便。（2）三次函数；一般都借助函数的图象进行研究，图象分0a及0a两种情况讨论（3）指数函数；做指数函数题目大多涉及变形，要变形就需要熟练掌握指数的运算性质：分数指数幂概念：11,mmnmnnmnmnaaaaa有理指数幂运算性质：①rsrsaaa(0,,)arsQ②()rsrsaa(0,,)arsQ③()rrrabab(,0,)abrQ（4）对数函数。做指、对数函数题目大多涉及变形，要变形就需要熟练掌握对数运算性质：指数与对数的几个处理原则：①化为同底，②会指数式与对数式的互化，③关于对数式还要多思考一条：真数值为正。①logNaabbN②loglognmaambbn，logloglogcacbba，logbaab第5页共30页③logloglogaaaMNMN，logloglogaaaMMNN④logab分四种情况考虑与0的大小。1,b1,log0aab若则,1,1b0,log0aab若则1,b1,log0aab若0则,1,0b1,log0aab若0则（1）一元二次函数：1.9、函数的零点（1）从图象角度而言，是函数图象与x轴交点的横坐标；（2）从解析式出发，是方程的根。1.10、反函数（1）原函数与反函数的图像关于直线xy对称，反过来，如果两个函数图象关于直线xy对称，则这两个函数互为反函数；（2）(,)ab在()fx的图象上，则(,)ba在1()fx的图象上。1．11、恒成立问题的三种常见题型（1）一元二次不等式的恒成立问题（与二次项系数及判别式有关）；（2）最值型恒成立问题maxmin()(),()()afxafxafxafx恒成立恒成立minmax()(),()()afxafxafxafx不成立不成立存在x使不等式()afx有解min()afx。（3）赋值型的恒成立问题。1．12、.导数的几何意义与切线方程（1）由导数的定义求函数()yfx的导数的步骤；①求函数的增量()()yfxxfx；②求函数的增量y与自变量的增量x的比值()()yfxxfxxx；③求极限得导数'0limxyyx。（2）曲线的切线。①已知点是切点的处理：先求出导函数在切点处的函数值即该点处切线的斜率；利用点斜式可写出切线方程。②已知点不是切点的处理：设切点为00(,)xy，有'10010()yykfxxx。第6页共30页1．13、.用导数作工具研究函数求简单初等函数的导数，牢记常见函数的导数公式是基础，掌握两个函数的四则运算求导法则和复合函数求导法则是关键。（1）在(,)ab内可导的函数()fx在(,)ab上单调递增（或递减）的充要条件：对于任意的(,)xab，有'()0fx（或'()0fx，且'()fx在(,)ab的任意子区间内都不恒等于零。这就是说，函数()fx在区间上的增减性并不排斥在区间内的个别点处有'0()0,fx甚至可以在无穷多个点处有'0()0,fx只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。（2）求函数极值的一般步骤；①确定函数的定义域；②求导数；③求方程'()0fx的根，这些根也称为可能极值点；④检查在方程的根的左右两侧的符号：如果在0x附近的左侧'()0,fx（判断的方法有解不等式；画图像；代值算三种方法）右侧'()0,fx则0()fx是极大值（或直接利用二阶导数判断）；如果在0x附近的左侧'()0,fx右侧'()0,fx则0()fx是极小值；如果在0x附近的左侧和右侧的导数同为正或同为负，则在0x处无极值，即导数为零的点不一定是极值点。建议：确定极值点最好通过列表的方式。（3）用导数处理最值。（一）、求函数在闭区间上的最值的步骤：①解方程'()0fx得可能极值点；②将()yfx的各可能极值与()fa和()fb进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。（二）、在解决实际应用问题时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。第7页共30页第二章数列一、知识结构：Snnaannnn等差数列、等比数列找基本量由可以求求数列通项公式的方法由递推关系可以求计算、归纳、猜想、证明等差数列、等比数列找基本量求数列前项和的方法错位相减裂项相消定义数列通项公式等差数列前项和公式等差中项常见性质定义通项公式等比数列前项和公式等比中项常见性质二：知识梳理：2．1、求数列通项公式的方法（1）等差数列、等比数列给出基本量；（2）己知nS可以求出na；*11,.2,1,NnnSSnSannn注意：如果1n时也满足1nnSS，那么na的表达式只写一个就可以了。（3）由递推关系求na；①)(1nfaann型的数列可用叠乘的手法；②)(1nfaann型的数列可用叠加的手法第8页共30页③dcaann1型的数列可构造数列naX是一个公比为c的等比数列；④对111nnnaama型的数列可构造数列1na，它是一个公差为m的等差数列。（4）采用计算----归纳-----猜想-----证明的思维方法得出na(处理数列问题有一种思维方式,即将数列的前几项给出,进而猜测得出以后项的规律)。2．2、求数列前n项和的方法（1）等差数列、等比数列给出基本量；（2）倒序相加；（3）错位相减((数列nc的前n项和，其中nnnbacna为等差数列,nb为等比数列)。（4）裂项法(分为分式裂项和整式裂项两种，在用分式裂项法来处理问题时，一定要注意利用数列的通项来指导具体项的分解；另外，整式裂项法又称为分组求和法)。常见的裂项公式：111(1)1nannnn1111()()nannddnnd111nannnn。2．3、等差数列（1）定义；daann1*(2,)nnN(可用来判断一个数列是不是等差数列；除此之外,还可以用通项公式，或是如果bnanSn2,)0,(ba则数列也一定是.等差数列；三项是否成等差数列常用等差中项来判断)。（2）通项公式；dnaan)1(1。（3）前n项和公式；2)(1nnaanS,或dnnnaSn2)1(1。（4）等差中项；A=2ba。（5）常见性质。①如果在等差数列中看见项与项的和,想起：jinmjinmaaaa。第9页共30页②对等差数列做有规律的变换仍可为等差数列：na为等差数列,，则2,,,mmnmnaaa，或232,,,mmmmmSSSSS仍为等差数列。③若,nnab均为等差数列,且公差分别为12,dd，则数