中山大学概论统计第2章习题解

习题2-1习题二(解)1.下列表中列出的是否为某个随机变量的概率分布？如果是,请写出它们的分布函数.1)X1352)X123P0.50.30.2P0.70.10.13)X12nP1/21/41/2n解1)因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又0.50.30.21,所以满足命题2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是[1,3)[3,5)[5,)()0.5()0.8()()FxIxIxIx.2)因为0.70.10.10.91,所以不满足命题2.1的条件,因而不是某个随机变量的概率分布.3)因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又121kk,所以满足命题2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是[,1)1()(12)()kkkkFxIx.2.设随机变量X只取正整数值1,2,,且()PXn与(1)nn成反比,求X的概率分布.解设()(1)cPXnnn,其中c是待定常数.则根据命题2.1,1111111()limlim1(1)11lnnnllcPXncccnnnnl.因此1c,1()(1)PXnnn,1,2,n.3.自动生产线在调整以后出现废品的概率为p.设生产过程中出现废品立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布.解在每次调整后前k个产品都是及格品而第1k个产品是废品的概率是(1)kpp,1,2,k.因而,设两次调整之间生产的合格品数为X,则()(1)kPXkpp,1,2,k.4.掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)pp,若以X表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数,求X的概率分布.解对于2,3,k,前1k次出现正面,第k次出现反面的概率是1(1)kpp,前1k次出现习题2-2反面,第k次出现正面的概率是1(1)kpp,因而X有概率分布11()(1)(1)kkPXkpppp,2,3,k.5.一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.第1个能正确回答的概率是5/8,第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56,前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56,前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56,前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0.设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X,则X有分布X0123P5/815/565/561/566.设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.解设一天中某人收到X位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)XB,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)PX.1)用二项分布公式计算31001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705kkkkPXPXC.2)用泊松近似律计算331004100004(4)1(4)10.04(10.04)10.5665!kkkkkkPXPXCek.7.设X服从泊松分布,且已知(1)(2)PXPX,求(2)PX和(2)PX.解设X服从参数为泊松分布,则2(1)(2)2!ePXPXe,解得2.因而2222(2)20.27072!PXee,22(2)1(0)(1)120.5940PXPXPXee.8.设X服从泊松分布,分布律为(),0,1,2,!kPXkekk.习题2-3问当k取何值时{}PXk最大？解设()/(1)kaPXkPXk,1,2,k,则1/!/(1)!kkkekakek,数列{}ka是一个递减的数列.若11a,则(0)PX最大.若11a,则当1ka且11ka时,{}PXk最大.由此得1)若1,则(0)PX最大.2)若1,则{}/1/(1)11PXkkkk最大且.由上面的1)和2)知,无论1或1,都有[]{}1PXkk不是整数最大或是整数.9.设随机变量X的概率密度为[0,1)[1,2]()()(2)()pxxIxxIx.求X的分布函数()Fx,并作出()px与()Fx的图形.解0(,0)[0,1)0()()()0()0xxxFxpvdvIxdvIxdvvdv01[1,2)1()0(2)xIxdvvdvxdv012[2,)012()0(2)0Ixdvvdvvdvdv112[0,1)[1,2)[2,)00101()()(2)()(2)xxIxvdvIxvdvvdvIxvdvvdv22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()xIxxxIxIx.10.设随机变量X的概率密度为[0,10]()()pxcxIx.求常数c和X的分布函数,并求概率(16/10)PXX.解10210001()502cxpxdxcxdxc,1/50c.2[0,10)[10,)[0,10)[10,)0()()()()()()50100xxvxFxpvdvIxdvIxIxIx.2(16/10)(10160)(28)PXXPXXPX8288222()3/550100xxpxdxdx.习题2-411.地板由宽30厘米的木条铺成,在上面随机地放置一个直径40厘米的圆盘,求这个圆盘能接触到3条木条的概率.解园盘中心离木条的最近的边的距离X服从[0,15]上的均匀分布,圆盘能接触到3条木条大的充分必要条件是1015X,故这个圆盘能接触到3条木条的概率是1510(1015)(1/15)1/3PXdx.12.随机变量X有密度2(1,1)()1()pxcxIx.求常数c和概率(1/21/2)PX.解sin1/2/22221/2/21()11sin(sin)cosxtpxdxcxdxctdtctdt/2/2/2/21(1cos2)(/2(sin2)/4)/22ctdtcttc.由上式得2/c.sin1/21/2/6221/21/2/622(1/21/2)()11sin(sin)xtPXpxdxxdxtdt/6/6/62/6/6/62212cos(1cos2)(/2(sin2)/4)1/33/(2)2tdttdttt.13.设随机变量X的密度为2xxce.求常数c.解2221/2(1/2)1/41/41/41xtxxxtcedxcedxceedtce.由上式得1/41/2ce.14.设~(1,4)XN,求(0)PX和(23)PX.解12221(1)/8/201/211(0)222xtxtPXedxedt1(1/2)(1/2)0.6915.222131(1)/8/221/211(23)222xtxtPXedxedt(1)(1/2)0.84130.69150.1498.解2设1~(0,1)2XZN,则~(0,1)ZN.101(0)(1/2)1(1/2)(1/2)0.691522XPXPPZ.21131(23)(0)(1/21)222XPXPXPPZ(1)(1/2)0.84130.69150.1498.15.设2~(,)XN,分别找出ik,使得()iiiPkXk.其中1,2,3i,10.9,20.95,30.99.习题2-5解122()/(2)1()2iikxiiikPkXkedx2/21()()2()12iixtktiiikedtkkk.()(1)/2iik.代入i的值查得11.64,21.96,32.58.解2设1~(0,1)2XZN,则~(0,1)ZN.()iiiiikkXPkXkP()()()2()1iiiiiPkZkkkk.()(1)/2iik.代入i的值查得11.64,21.96,32.58.16.随机变量X服从二项分布(3,1/3)B,求X的分布函数和2(1)YX的分布.解X有分布kx0123()kPXx8/2712/276/271/27故X有分布函数[0,1)[1,2)[2,3)[3,)82026()()()()()272727FxIxIxIxIx.Y有分布ky014()kPYy12/2714/271/2717.设X服从自由度为k的2分布,即X有密度/21/2(0,)/21()()2(/2)kxXkpxxeIxk.求/YXk的密度.解1当0y时,()()(/)0YFyPYyPXky,()()0YYpyFy.当0y时,22()()(/)()()YXFyPYyPXkyPXkyFky,222/21/22(0,)/21()()2()2()()2(/2)kkyYYXkpyFykypkykykyeIkyk习题2-62/21/22/2/2kkkykyek.因而2/21/2(0,)2/2()()/2kkkyYkpyyeIyk.解2设(0,)V,则()1PXV.设()/yfxxk,xV,则f有反函数12()fyky,yG,其中{():}(0,)GyfxxV.因而Y有密度()|()|(()()YXGpyypyIy22/21/22(0,)/212()()2(/2)kkykkykyeIkyk2/21/22/2/2kkkykyek.18.由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell)分布,即密度为222/(0,)34()()xXxpxeIx.其中参数0.求分子的动能2/2YmX的密度.解1当0y时,2()()(/2)0YFyPYyPmXy,()()0YYpyFy.当0y时,2()()(/2)(2/)(2/)YXFyPYyPmXyPXymFym,22/()(0,)3118/()()(2/)(2/)22ymYYXympyFypymeIymmymy222/()2/()33318/422ymymymyeemym.因而22/()(0,)3342()()ymYypyeIym.解2设(0,)V,则()1PXV.设2()/2yfxmx,xV,则f有反函数1()2/fyym,yG,其中{(