1.3.3 函数最大(小)值与导数

21.22,11abxxxx3已知函数f(x)=x在处取得极值。求f(x)的解析式。2求f(x)的单调区间。222.1axbxaxab3已知函数f(x)=x在时有极值，求、10的值。更正高中数学选修2-2（人教版A版）1、导数与单调性的关系(1)()0fx()为单调递增函数fx(2)()0fx()为单调递减函数fx0()0fx0(3)为极值点x1、导数与极值的关系在x0的附近：①左正右负,那么x0是极大值点;()fx②左负右正,那么x0是极小值点;()fx③左右同号,那么不是极值点。0x()fx1.3.1函数的单调性与导数1.3.2函数的极值与导数1.3.3函数的最大（小）值与导数1.3.3函数的最大（小）值与导数强调：函数的最大（小）值是相对于某区间上的连续函数而言的！对于某区间上的不连续函数，我们不谈最大（小）值的问题！所谓最值就是所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值。探究问题1：开区间上的最值问题oxyaby=f(x)y=f(x)oxyaboxyaby=f(x)oxyaby=f(x)结论在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值baxoyy=f(x)oyxy=f(x)abx1x2x4x3探究问题2：闭区间上的最值问题结论如果在闭区间[a，b]上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。思考：（1）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）有最值，在什么位置取最值？答：在极值位置处。（2）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点是否是最值点？答：是。例1、求函数在区间上的最大值与最小值。31443yxx[0,3]求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；(2)将y=f(x)的各个极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值。例2已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值。•思考题已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由。答案：a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29。•[例]已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．•[分析]由题目可获取以下主要信息：•①函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在x∈[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29；•②根据最大值、最小值确定a，b的值．•解答本题可先对f(x)求导，确定f(x)在[－1,2]上的单调性及最值，再建立方程从而求得a，b的值．•[解析]存在．•显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax.•令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)．•(1)当a0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)b•所以当x＝0时，f(x)取最大值，所以f(0)＝b＝3.•又f(2)＝3－16a，f(－1)＝3－7a，f(－1)f(2)，•所以当x＝2时，f(x)取最小值，•即f(2)＝3－16a＝－29，所以a＝2.•(2)当a0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：•所以当x＝0时，f(x)取最小值，所以f(0)＝b＝－29.•又f(2)＝－29－16a，f(－1)＝－29－7a，•f(2)f(－1)，所以当x＝2时，f(x)取最大值，•即－16a－29＝3，所以a＝－2.•综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.x(－1,0)0(0,2)f′(x)－0＋f(x)b•[例]已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．•(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；•(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．•[分析]由题目可获取以下主要信息：•①函数f(x)＝x2(x－a)中含有参数a；•②在a确定的情况下，求切线方程；•③在a不确定的情况下求函数在区间[0,2]上的最大值．•解答本题可先对函数求导，然后根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在[0,2]上的最大值．•[解析](1)f′(x)＝3x2－2ax.•因为f′(1)＝3－2a＝3，•所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，•所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为•3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a3.当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.当02a32，即0a3时，f(x)在0，2a3上单调递减，在2a3，2上单调递增．从而f(x)max＝8－4a(0a≤2)0(2a3)，•[点评]参数对最值的影响由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．参数的分类标准可以从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定．常见结论(1)当f(x)的图象连续不断且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．(2)当图象连续不断的函数f(x)在(a，b)内只有一个极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取到最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是无穷区间.总结升华【课堂小结】求函数在闭区间[a,b]上的最值的步骤如下：（1）求函数在(a,b)内的极值；（2）将函数的各极值点与端点处的函数值、比较，其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值.()yfx()yfx()yfxfafb整理巩固要求：整理巩固探究问题落实基础知识完成知识结构图当堂检测要求学生自主完成课堂评价小组一组二组三组四组五组六组七组八组九组积分优胜个人说明：1.学科班长回扣目标总结收获；2.评出优胜小组和优胜个人．课后完成训练案并整理巩固xyo0x左正右负极大左负右正极小左右同号无极值2.极值的判定yxo0xxoy0xoxyaby=f(x)oxyaby=f(x)oxyaby=f(x)oxyaby=f(x)结论：在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。例如函数y=f(x)图像如下：解:24yx当变化时,的变化情况如下表:,yy例1、求函数在区间上的最大值与最小值。31443yxx[0,3]令,解得0y22或xxx又由于(0)4,(3)1ff（舍去）2－＋0(0,2)(2,3)x()fx()fx03↗↘43极小值41函数在区间上最大值为,最小值为43[0,3]4