2012届高考理科数学一轮复习课件：2.3函数的奇偶性与周期性(北师大版)

结合具体函数，了解函数奇偶性及周期性的含义．1．奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝__f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－__f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称；(2)考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝__f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝__f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．3．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．思考探究1：奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．4．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝__f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．思考探究2：如果T是函数y＝f(x)的周期，那么kT(k∈Z)是否一定也是该函数的周期？提示：当k＝0时，不是；k≠0时，是．1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A．y＝－x3，x∈RB．y＝sinx，x∈RC．y＝x，x∈RD．y＝(12)x，x∈R答案：A2．(2010年豫南九校联考)f(x)＝1x－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称解析：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝1－x－(－x)＝－1x－x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称．答案：C3．(2011年汉台中学)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：由f(x＋2)＝－f(x)知f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，故知函数y＝f(x)的周期为4，∴f(6)＝f(4＋2)＝f(2)＝－f(0)．∵f(x)是R上的奇函数，易知f(0)＝0，∴f(6)＝－f(0)＝0，选B.答案：B解析：∵y＝2x－3x0fxx0是奇函数．∴当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－3]＝2x＋3，故填2x＋3.4．(2011年济南)如果函数y＝2x－3x0fxx0是奇函数，则f(x)＝________.答案：2x＋3末日轮盘最新章节无弹窗圳廿牁考点一函数奇偶性的判定判断函数奇偶性的一般步骤1．首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称；若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数．2．若定义域关于原点对称，再判定f(－x)与f(x)之间的关系(1)若f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则f(x)为奇函数；(2)若f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则f(x)为偶函数；(3)若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；(4)若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．例1讨论下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；(2)f(x)＝－x2＋2x＋1x0，x2＋2x－1x0；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；【分析】首先判断函数的定义域，若可能具有奇偶性，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断f(－x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数)．【解】(1)定义域要求1－x1＋x≥0且x≠－1，∴－1x≤1，∴f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)不存在奇偶性．(2)令－x2＋2x＋1＝g(x)，则g(－x)＝－x2－2x＋1，∴x2＋2x－1＝－g(－x)，∴f(x)＝gxx0，－g－xx0，∴f(x)是奇函数．(3)∵4－x2≥0，|x＋3|≠3⇒－2≤x≤2且x≠0，∴函数定义域关于原点对称．f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x，又f(－x)＝4－－x2－x＝－4－x2x，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．变式迁移1判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f(x)＝x2－|x|＋1x∈[－1,4]；(2)f(x)＝(x－1)1＋x1－xx∈(－1,1)；(3)f(x)＝1ax－1＋12(a0，a≠1)；(4)f(x)＝0，x为无理数，1，x为有理数.解：(1)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．(2)∵f(x)＝(x－1)1＋x1－x，已知f(x)的定义域为(－1,1)，其定义域关于原点对称．又f(－x)＝(－x－1)1－x1＋x＝－(x＋1)1－x1＋x＝－1＋x21－x1＋x＝－1＋x1－x＝－1＋x1－x21－x＝－(1－x)1＋x1－x＝(x－1)1＋x1－x＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)∵f(x)的定义域为x∈R，且x≠0，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11ax－1＋12＝ax1－ax＋12＝－1－ax－11－ax＋12＝－1＋11－ax＋12＝－(1ax－1＋12)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)函数定义域为R.若x为无理数，则－x也是无理数，∴f(x)＝f(－x)＝0；若x为有理数，则－x也是有理数，∴f(x)＝f(－x)＝1.综上可知，对任意实数x都有f(x)＝f(－x)．∴f(x)为偶函数．考点二抽象函数的奇偶性与单调性(1)对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式；(2)奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．例2已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x为正实数，f(x)0，并且f(1)＝－12，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．【分析】(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明，只需证f(x)＋f(－x)＝0；(2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇偶性的应用．【解】(1)证明：函数定义域为R，其定义域关于原点对称，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)解：解法一：设x，y是正实数，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)．∵x是正实数，f(x)0，∴f(x＋y)－f(x)0，∴f(x＋y)f(x)．∵x＋yx，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－12，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.解法二：设x1x2，且x1，x2∈R.则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x10，∴f(x2－x1)0.∴f(x2)－f(x1)0.即f(x)在R上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－12，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.变式迁移2已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，如果x10，x20，且|x1||x2|，则有()A．f(－x1)＋f(－x2)0B．f(x1)＋f(x2)0C．f(－x1)－f(－x2)0D．f(x1)－f(x2)0解析：∵x10，x20，|x1||x2|∴0－x1x2又f(x)是(0，＋∞)上的增函数，∴f(－x1)f(x2)又f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(x1)f(x2)．∴f(x1)－f(x2)0.选D.答案：D考点三函数的周期性及应用如果奇偶性是讲函数图象的对称，那么函数的周期性就是讨论函数图象的平移，而函数图象的对称与函数的周期性也是密不可分的，比如：若函数f(x)的图象关于直线x＝a，x＝b(a≠b)对称，则f(x)为周期函数，其周期为T＝2(b－a)等．例3(2010年山东潍坊一模)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时f(x)＝(12)1－x，则①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝(12)x－3.其中所有正确命题的序号是________．【解析】由f(x＋1)＝f(x－1)可得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f(x＋1－1)＝f(x)，∴2是函数f(x)的一个周期．又函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x∈[0,1]时，f(x)＝(12)1－x，∴函数f(x)的简图如右，由简图可知②④也正确．【答案】①②④变式迁移3(2011年湖北八校联考)奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(2＋x)＋f(2－x)＝9，且f(1)＝0，则f(2010)＋f(2011)＋f(2012)的值为__________．解析：∵f(x＋2)＝－f(2－x)＝f(x－2)，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝f(x＋2－2)＝f(x)，∴f(x)周期为4.f(2010)＋f(2011)＋f(2012)＝f(2)＋f(3)＋f(4)∵f(x)为奇函数且x∈R，∴f(0)＝0f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)＝－9.在f(2＋x)＋f(2－x)＝0中令x＝0，得：f(2)＝0，∴原式＝－9.答案：－9函数的奇偶性是函数的另一个重要性质，每套高考试题都从不同角度进行考查，其热点是与函数的单调性、周期性结合考查．(2010年安徽高考)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1B．1C．－2D．2解析：由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.答案：A（2011年安徽高考理3）设()fx是定义在R上的奇函数，当x时，()fxxx，则()f（A）(B)（Ｃ）１（Ｄ）３解析：2(1)(1)[2(1)(1)]3ff.故选A.1．分段函数的奇偶