2014人教数学必修五【课件】 1.2应用举例(一)

本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）【学习目标】1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题．2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题．3．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题．本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）【学法指导】1．在我们将所求距离或方向的问题转化为一个求三角形的边和角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为我们解这个三角形的支持，为我们解这个三角形提供必要的条件．2．在测量某物体高度的问题中，很多被测量的物体是一个立体的图形，而在测量过程中，我们测量的角度也不一定在同一垂面内，因此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是画出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解．本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做．一般来说，基线越长，测量的精确度．2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α.填一填·知识要点、记下疑难点基线越高本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）3．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线方时叫仰角，目标视线在水平线方时叫俯角．(如图所示)填一填·知识要点、记下疑难点上本讲栏目开关填一填研一研练一练下§1.2（一）4．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()A．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，β填一填·知识要点、记下疑难点解析由α、β、b，可利用正弦定理求出BC.D本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）[问题情境]1．“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”．在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？2．现实生活中，人们经常遇到测量不可到达点之间的距离、底部不可到达建筑物的高度，以及在航海中航向的确定．这些问题究竟怎样解决？恰当利用我们所学过的正弦定理、余弦定理就可以解决上述问题，这节课我们就来探究上述问题．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）探究点一测量不可达距离的方法问题测量不可达距离有哪些基本类型？每种类型的解决方案是怎样的？探究表中是测量距离的基本类型及方案，请你根据所给图形，填写相应的结论：类别两点间不可达或不可视两点间可视但点不可达两点都不可达图形研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）方法用余弦定理用正弦定理在△ACD中用正弦定理求AC在△BCD中用正弦定理求BC在△ABC中用余弦定理求AB结论AB＝AB＝①AC＝②BC＝③AB＝研一研·问题探究、课堂更高效a2＋b2－2abcosCasinCsinB＋Casin∠ADCsin∠ACD＋∠ADCasin∠BDCsin∠BCD＋∠BDCAC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）探究点二测量底部不可到达的建筑物的高度问题底部不可到达的高度测量有哪些基本类型？每种类型如何测量？探究下表是测量高度的基本类型及方案，请你根据所给图形，填写相应结论：类别点B与点C、D共线点B与点C、D不共线图形研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）方法先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形求出AB在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠ACB可知，即而求出AB结论AB＝AB＝研一研·问题探究、课堂更高效a1tan∠ACB－1tan∠ADBasin∠BDC×tan∠ACBsin∠BCD＋∠BDC本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）【典型例题】例1为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一铅垂平面内．飞机已经测量的数据有A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）甲乙两位同学各自给出了计算MN的两种方案,请你补充完整.甲方案：第一步：计算AM.由正弦定理AM＝；第二步：计算AN.由正弦定理AN＝；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝.乙方案：第一步：计算BM.由正弦定理BM＝；第二步：计算BN.由正弦定理BN＝；第三步：计算MN.由余弦定理MN＝.研一研·问题探究、课堂更高效dsinα2sinα1＋α2dsinβ2sinβ2－β1AM2＋AN2－2AM×ANcosα1－β1dsinα1sinα1＋α2dsinβ1sinβ2－β1BM2＋BN2＋2BM×BNcosβ2＋α2本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）小结测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角的边长问题，然后在相关三角形中计算其他边．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）跟踪训练1在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为千米．研一研·问题探究、课堂更高效解析如图所示，由题意知∠C＝45°，由正弦定理得ACsin60°＝2sin45°，∴AC＝222·32＝6.6本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）例2如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.研一研·问题探究、课堂更高效解在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.根据正弦定理得ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，即ACsin90°－α＝BCsinα－β，∴AC＝BCcosαsinα－β＝hcosαsinα－β.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝hcosαsinβsinα－β.答山的高度为hcosαsinβsinα－β.本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）小结在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）跟踪训练2如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(βα)．则A点离地面的高AB等于()A.asinαsinβsinα－βB.asinαsinβcosα－βC.asinαcosβsinα－βD.acosαcosβcosα－β研一研·问题探究、课堂更高效解析设AB＝h，则AD＝hsinα，在△ACD中，∵∠CAD＝α－β，∴CDsinα－β＝ADsinβ.∴asinα－β＝hsinαsinβ，∴h＝asinαsinβsinα－β.A本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）例3某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以103海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．研一研·问题探究、课堂更高效解如图所示，设所需时间为t小时，则AB＝103t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－12(舍去)．研一研·问题探究、课堂更高效即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝103，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠CAB＝ABsin120°，所以sin∠CAB＝BCsin120°AB＝10×32103＝12，所以∠CAB＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.小结航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题．本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）跟踪训练3甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距anmile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶多少nmile?研一研·问题探究、课堂更高效解如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为xnmile，则AC＝3x，由正弦定理得sinθ＝BC·sin120°AC＝12，而θ60°，∴θ＝30°，即∠ACB＝30°，AB＝BC＝a，从而BC＝AB·sinθsin∠ACB＝a(nmile)．答甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了anmile.本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）1．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m,∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）解析由题意知∠ABC＝30°，练一练·当堂检测、目标达成落实处由正弦定理ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，∴AB＝AC·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m)．答案A本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）2．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为()A．2h米B．2h米C．3h米D．22h米练一练·当堂检测、目标达成落实处解析如图所示，BC＝3h，AC＝h，∴AB＝3h2＋h2＝2h(米)．A本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）3．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°,∠CBA＝75°,AB＝120m,则河的宽度为．练一练·当堂检测、目标达成落实处解析在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB＝120(m)．如图，作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．由正弦定理得ACsin∠ADC＝CDsin∠CAD，∴120sin90°＝CDsin30°，∴CD＝60(m)∴河的宽度为60m.60m本讲栏目开关填一填研一研练一练§1.2（一）1．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．3．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练