圆的综合题

第1页（共21页）圆的综合题一．解答题（共8小题）1．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：△PAC∽△PCB；（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：①当AQ=时，四边形AQBC的面积最大；②当AQ=时，△ABC与△ABQ全等．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）填空：①当∠CAB=°时，四边形ADFE为菱形；②在①的条件下，BC=cm时，四边形ADFE的面积是6cm2．3．如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．（1）求证：△ABE≌△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；第2页（共21页）②若AE=6，BE=8，则EF的长为．4．如图（1），AB是⊙O的直径，且AB=10，C是⊙O上的动点，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．（1）求证：∠DAC=∠BAC；（2）若AD和⊙O相切于点A，AD的长为（直接写出答案）；（3）若把直线EF向上平移，如图（2），EF交⊙O于G、C两点，题中的其他条件不变，这时与∠DAC相等的角是否存在？若存在，找出相等的角并说明理由；若不存在，请说明理由．5．如图，在△ACE中，AC=CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是弧AC上一点，且弧DF=弧BC，连接AB，BC，CD．（1）求证：△CDE≌△ABC；（2）填空：若AC为⊙O的直径，则①当△ACE的形状为时，四边形OCFD为菱形；②当△ACE的形状为时，四边形ABCD为正方形．6．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动．连接PB，QE，设运动时第3页（共21页）间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t=s时，四边形PBQE为菱形；②当t=s时，四边形PBQE为矩形．7．如图，在△ABC中，AB=AC，点O为边AB的中点，OD⊥BC于点D，AM⊥BC于点M，以点O为圆心，线段OD为半径的圆与AM相切于点N．（1）求证：AN=BD；（2）填空：点P是⊙O上的一个动点，①若AB=4，连结OC，则PC的最大值是；②当∠BOP=时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形．8．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，OE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）填空：①当∠CAB=时，四边形AOED是平行四边形；②连接OD，在①的条件下探索四边形OBED的形状为．第4页（共21页）第5页（共21页）圆的综合题参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：△PAC∽△PCB；（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：①当AQ=3时，四边形AQBC的面积最大；②当AQ=3或3时，△ABC与△ABQ全等．【分析】（1）连接OC，由切线的性质得出OC⊥PC，推出∠PCA+∠ACO=90°，由圆周角定理得出∠B+∠CAB=90°，证出∠OAC=∠OCA，推出∠B+∠OCA=90°，得出∠PCA=∠B，即可得出结论；（2）①当点Q运动到OQ⊥AB时，四边形AQBC的面积最大；连接AQ、BQ，由线段垂直平分线性质得出OQ=BQ，由圆周角定理得出∠AQB=90°，证出△ABQ是等腰直角三角形，得出AQ=AB=3，②由直角三角形的性质和圆周角定理得出AC=AB=3，BC=AC=3，分两种情况讨论，由全等三角形的判定即可得出结论．【解答】（1）证明：如图1所示，连接OC．∵PC是圆O的切线，OC是半径，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°∴∠PCA+∠ACO=90°，第6页（共21页）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠B+∠OCA=90°，∴∠PCA=∠B，又∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB；（2）解：①当点Q运动到OQ⊥AB时，四边形AQBC的面积最大；如图2所示：连接AQ、BQ，∵OA=OB，OQ⊥AB，∴OQ=BQ，∵AB是直径，∴∠AQB=90°，∴△ABQ是等腰直角三角形，∴AQ=AB=3，故答案为：3；②如图3所示：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=3，BC=AC=3，分两种情况：a．当AQ=AC=3时，在Rt△ABC和Rt△ABQ中，，∴△ABC≌△ABQ（HL）；b．当AQ=BC=3时，同理△ABC≌△BAQ；综上所述：当AQ=3或3时，△ABC与△ABQ全等．第7页（共21页）【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．（1）求证：△ABC≌△ABF；（2）填空：①当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；②在①的条件下，BC=6cm时，四边形ADFE的面积是6cm2．第8页（共21页）【分析】（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等即可；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．（3）设菱形AEFD的边长为a，易知△AEF、△AFD都是等边三角形，列出方程求出a，再在RT△ACB中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，∵∠E=∠EFA，∴∠FAB=∠CAB，在△ABC和△ABF中，，∴△ABC≌△ABF；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形．证明：∵∠CAB=60°，∴∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，∴EF=AD=AE，∴四边形ADFE是菱形．故答案为60．（3）解：∵四边形AEFD是菱形，设边长为a，∠AEF=∠CAB=60°，∴△AEF、△AFD都是等边三角形，由题意：2×a2=6，∴a2=12，∵a＞0，∴a=2，第9页（共21页）∴AC=AE=2，在RT△ACB中，∠ACB=90°，AC=2，∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=4，BC==6．故答案为6．【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大，记住等边三角形面积公式=a2（a是边长）．3．如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，延长BC到点D，使CD=CA，连接AD交⊙O于点E．（1）求证：△ABE≌△CDE；（2）填空：①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；②若AE=6，BE=8，则EF的长为．【分析】（1）根据AAS证明两三角形全等；（2）①先证明∠AOC=∠AEC=120°，∠OAE=∠OCE=60°，可得▱AOCE，由OA=OC可得结论；②根据（1）中的全等得：BE=DE=8，AE=CE=6，证明△ECD∽△CFB，列式可得：=，证明△AEF∽△BCF，则可得EF的长．第10页（共21页）【解答】（1）证明：∵AB=AC，CD=CA，∴∠ABC=∠ACB，AB=CD，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE（AAS）；（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；理由是：连接AO、OC，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC=180°，∵∠ABC=60，∴∠AEC=120°=∠AOC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠ACB=∠CAD+∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D=30°，∴∠ACE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠OAE=∠OCE=60°，∴四边形AOCE是平行四边形，∵OA=OC，∴▱AOCE是菱形；②由（1）得：△ABE≌△CDE，∴BE=DE=8，AE=CE=6，∴∠D=∠EBC，第11页（共21页）∵∠CED=∠ABC=∠ACB，∴△ECD∽△CFB，∴=，∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，∴△AEF∽△BCF，∴，∴=，∴EF==．故答案为：①60°；②．【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质和判定、三角形相似和全等的性质和判定、四点共圆的性质、菱形的判定等知识，难度适中，正确判断圆中角的关系是关键．4．如图（1），AB是⊙O的直径，且AB=10，C是⊙O上的动点，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．（1）求证：∠DAC=∠BAC；（2）若AD和⊙O相切于点A，AD的长为5（直接写出答案）；（3）若把直线EF向上平移，如图（2），EF交⊙O于G、C两点，题中的其他条件不变，这时与∠DAC相等的角是否存在？若存在，找出相等的角并说明理由；若不存在，请说明理由．第12页（共21页）【分析】（1）连接OC，推出∠OCA=∠OAC，根据平行线的性质和判定和切线性质得出∠DAC=∠OCA，即可得出答案；（2）推出四边形OADC是正方形，推出OA=AD，即可得出答案；（3）连接BC推出∠ADC=∠BCA=90°，根据三角形的内角和定理推出∠DAC=∠BCG=∠BAG．【解答】（1）证明：连接OC，如图（1），∵EF切⊙O于C，∴OC⊥EF，∵AD⊥EF，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠DAC=∠BAC．（2）解：连接OC，如图（2），∵AD切⊙O于A，∴OA⊥AD，∵AD⊥EF，OC⊥EF，∴∠OAD=∠ADC=∠OCD=90°，∴四边形OADC是矩形，∵OA=OC，∴矩形OADC是正方形，第13页（共21页）∴AD=OA，∵AB=2OA=10，∴AD=OA=5．故答案为：5；（3）解：存在∠BAG=∠DAC，理由是：连接BC，如图（3），∵AB是⊙O直径，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠BCG，∵圆周角∠BAG和∠BCG都对弧BG，∴∠BCG=∠BAG，∴∠BAG=∠DAC．第14页（共21页）【点评】本题考查了切线的性质，矩形的判定，正方形的性质和判定，平行线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．5．如图，在△ACE中，AC=CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是弧AC上一点，且弧DF=弧BC，连接AB，BC，CD．（1）求证：△CDE≌△ABC；（2）填空：若AC为⊙O的直径，则①当△ACE的形状为等边三角形时，四边形OCFD为菱形；②当△ACE的形状为等腰直角三角形时，四边形ABCD为正方形．【分析】（1）先判断出∠BAC=∠DCE，进而得出∠CDE=∠ABC，即可得出结论；（2）①先判断出点D是AE的中点，再利用DF∥AC，点F是CE的中点，即可得出AC=AE，即可得出结论；②先判断出AD=CD，∠ADC=90°，进而得出∠ACD=45°，再判断出∠DCE=∠ACD=45°，即可得出∠ACE=90°，即可得出结论．【解答】解：（