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第27讲几何作图1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺2．基本作图(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差；(2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差；(3)作角的平分线；(4)作线段的垂直平分线；(5)过一点作已知直线的垂线．3．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．4．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；(2)作三角形的内切圆；(3)作圆的内接正方形和正六边形．5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型6．作图的一般步骤(1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明；(6)讨论．步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹．(2)垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径__平分弦__，并且__平分弦所对的两条弧__．垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径__垂直于弦__，并且__平分弦所对的两条弧__；②弦的垂直平分线__经过圆心__，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦__相等__．②推论：在同圆或等圆中，如果两个__圆心角__、__两条弧__、__两条弦__、__两条弦心距__中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．(4)圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一半__．圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧__相等__．②半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__；90°的圆周角所对的弦是__直径__．(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：①点P在圆上__d＝r__；②点P在圆内__dr__；③点P在圆外__dr__．1．(2013·丽水)如图，AB∥CD，AD和BC相交于O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是(C)A．80°B．70°C．60°D．50°2．(2014·杭州)已知直线a∥b，若∠1＝40°50′，则∠2＝__∠B__．3．(2014·温州)如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝__70__度．4．(2012·嘉兴)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于(A)A．40°B．60°C．80°D．90°5．(2013·湖州)把15°30′化成度的形式，则15°30′＝__15.5__度．解：(1)解：设AB＝2x，BC＝3x，则CD＝4x，由题意得4x＝16，∴x＝4，∴AD＝2×4＋3×4＋4×4＝36(cm)，∵M为AD的中点，∴MD＝12AD＝12×36＝18(cm)，∵MC＝MD－CD，∴MC＝18－16＝2(cm)(2)AB∶BM＝(2×4)∶(3×4－2)＝4∶5线段的计算【例1】如图，B，C两点把线段AD分成2∶3∶4三部分，M是线段AD的中点，CD＝16cm.求：(1)MC的长；(2)AB∶BM的值．【点评】在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件；②学会观察图形，找出线段之间的关系，列算式或方程来解答．1．(1)(2012·菏泽)已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3cm，则线段AC＝__11_cm或5_cm__．(2)如图，已知AB＝40cm，C为AB的中点，D为CB上一点，E为DB的中点，EB＝6cm，求CD的长．解：∵E为BD的中点，∴BD＝2BE＝2×6＝12，又∵C为AB的中点，∴BC＝AB＝×40＝20，∴CD＝BC－BD＝20－12＝8(cm)－3－102－3┄┄(－1，－3)(0，－3)(2，－3)－1(－3，－1)┄┄(0，－1)(2，－1)0(－3，0)(－1，0)┄┄(2，0)2(－3，2)(－1，2)(0，2)┄┄所有等可能的情况有12种，其中点(x，y)落在第二象限内的情况有2种，则P＝212＝16解析：摸到白球的概率为P＝10100＝110，设口袋里共有n个球，则5n＝110，得n＝50，所以红球数为50－5＝45，选A【点评】本题每摸一次就相当于做了一次试验，因此大量重复的试验获取的频率可以估计概率．【例2】(2013·青岛)一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有(A)个A．45B．48C．50D．55解：(1)将点A(2，3)代入解析式y＝kx，得k＝6(2)将D(3，m)代入反比例解析式y＝6x，得m＝63＝2，∴点D坐标为(3，2)，设直线AD解析式为y＝kx＋b，将A(2，3)与D(3，2)代入得2k＋b＝3，3k＋b＝2，解得k＝－1，b＝5，则直线AD解析式为y＝－x＋5(3)过点C作CN⊥y轴，垂足为点N，延长BA，交y轴于点M，∵AB∥x轴，∴BM⊥y轴，∴MB∥CN，∴△OCN∽△OBM，∵C为OB的中点，即OCOB＝12，∴S△OCNS△OBM＝(12)2，∵A，C都在双曲线y＝6x上，∴S△OCN＝S△AOM＝3，由33＋S△AOB＝14，得到S△AOB＝9，则△AOB面积为94．(1)(2014·深圳)如图，双曲线y＝kx经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足AOAB＝23，与BC交于点D，S△BOD＝21，求k＝__8__．解析：过A作AE⊥x轴于点E.∵S△OAE＝S△OCD，∴S四边形AECB＝S△BOD＝21，∵AE∥BC，∴△OAE∽△OBC，∴S△OAES△OBC＝S△OAES△OAE＋S四边形AECB＝(AOOB)2＝425，∴S△OAE＝4，则k＝8(2)(2014·玉林)如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝k1x和y＝k2x的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M和N，则有以下的结论：①AMCN＝|k1||k2|；②阴影部分面积是12(k1＋k2)；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的是__①④__．(把所有正确的结论的序号都填上)解析：作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，如图，∵四边形OABC是平行四边形，∴S△AOB＝S△COB，∴AE＝CF，∴OM＝ON，∵S△AOM＝12|k1|＝12OM·AM，S△CON＝12|k2|＝12ON·CN，∴AMCN＝|k1||k2|，所以①正确；∵S△AOM＝12|k1|，S△CON＝12|k2|，∴S阴影部分＝S△AOM＋S△CON＝12(|k1|＋|k2|)，而k1＞0，k2＜0，∴S阴影部分＝}，所以②错误；当∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形，∴不能确定OA与OC相等，而OM＝ON，∴不能判断△AOM≌△OCN，∴不能判断AM＝CN，∴不能确定|k1|＝|k2|，所以③错误；若OABC是菱形，则OA＝OC，而OM＝ON，∴Rt△AOM≌Rt△CON，∴AM＝CN，∴|k1|＝|k2|，∴k1＝－k2，∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，所以④正确．故答案为①④试题已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝－1时，y＝1.求x＝－12时，y的值．错解解：设y1＝kx2，y2＝kx.∵y＝y1＋y2，∴y＝kx2＋kx.∴把x＝1，y＝3代入上式，得3＝k＋k，∴k＝32.∴y＝32x2＋32x.当x＝－12时，y＝32×(－12)2＋32×（－12）＝38－3＝－218.答：当x＝－12时，y的值是－218.剖析(1)错解错在设y1＝kx，y2＝kx时取了相同的比例系数k，由于这是两种不同的比例，其比例系数未必相同，应分别设y1＝k1x，y2＝k2x，用两个不同字母k1，k2来表示两个不同的比例系数．(2)在同一问题中，相同的字母只能表示同一个未知量．两个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来表示，以免混淆，从而导致错误．