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第28讲视图与投影1．三视图(1)主视图：从__正面__看到的图；(2)左视图：从__左面__看到的图；(3)俯视图：从__上面__看到的图．2．画“三视图”的原则(1)位置：__主视图__；__左视图__；__俯视图__．(2)大小：__长对正，高平齐，宽相等__．(3)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．3．几种常见几何体的三视图几何体主视图左视图俯视图圆柱长方形长方形圆圆锥三角形三角形圆和圆心球圆圆圆4.三种视图的作用(1)主视图可以分清长和高，主要提供正面的形状；(2)左视图可以分清物体的高度和宽度；(3)俯视图可以分清物体的长和宽，但看不出物体的高．5．投影物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．(1)平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．在同一时刻，物体高度与影子长度成比例．物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影．(2)中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦__相等__．②推论：在同圆或等圆中，如果两个__圆心角__、__两条弧__、__两条弦__、__两条弦心距__中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．(4)圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一半__．圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧__相等__．②半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__；90°的圆周角所对的弦是__直径__．(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：①点P在圆上__d＝r__；②点P在圆内__dr__；③点P在圆外__dr__．1．(2013·丽水)如图，AB∥CD，AD和BC相交于O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是(C)A．80°B．70°C．60°D．50°2．(2014·杭州)已知直线a∥b，若∠1＝40°50′，则∠2＝__∠B__．3．(2014·温州)如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝__70__度．4．(2012·嘉兴)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于(A)A．40°B．60°C．80°D．90°5．(2013·湖州)把15°30′化成度的形式，则15°30′＝__15.5__度．解：(1)解：设AB＝2x，BC＝3x，则CD＝4x，由题意得4x＝16，∴x＝4，∴AD＝2×4＋3×4＋4×4＝36(cm)，∵M为AD的中点，∴MD＝12AD＝12×36＝18(cm)，∵MC＝MD－CD，∴MC＝18－16＝2(cm)(2)AB∶BM＝(2×4)∶(3×4－2)＝4∶5线段的计算【例1】如图，B，C两点把线段AD分成2∶3∶4三部分，M是线段AD的中点，CD＝16cm.求：(1)MC的长；(2)AB∶BM的值．【点评】在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件；②学会观察图形，找出线段之间的关系，列算式或方程来解答．1．(1)(2012·菏泽)已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3cm，则线段AC＝__11_cm或5_cm__．(2)如图，已知AB＝40cm，C为AB的中点，D为CB上一点，E为DB的中点，EB＝6cm，求CD的长．解：∵E为BD的中点，∴BD＝2BE＝2×6＝12，又∵C为AB的中点，∴BC＝AB＝×40＝20，∴CD＝BC－BD＝20－12＝8(cm)－3－102－3┄┄(－1，－3)(0，－3)(2，－3)－1(－3，－1)┄┄(0，－1)(2，－1)0(－3，0)(－1，0)┄┄(2，0)2(－3，2)(－1，2)(0，2)┄┄所有等可能的情况有12种，其中点(x，y)落在第二象限内的情况有2种，则P＝212＝16解析：摸到白球的概率为P＝10100＝110，设口袋里共有n个球，则5n＝110，得n＝50，所以红球数为50－5＝45，选A【点评】本题每摸一次就相当于做了一次试验，因此大量重复的试验获取的频率可以估计概率．【例2】(2013·青岛)一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有(A)个A．45B．48C．50D．55解：(1)将点A(2，3)代入解析式y＝kx，得k＝6(2)将D(3，m)代入反比例解析式y＝6x，得m＝63＝2，∴点D坐标为(3，2)，设直线AD解析式为y＝kx＋b，将A(2，3)与D(3，2)代入得2k＋b＝3，3k＋b＝2，解得k＝－1，b＝5，则直线AD解析式为y＝－x＋5(3)过点C作CN⊥y轴，垂足为点N，延长BA，交y轴于点M，∵AB∥x轴，∴BM⊥y轴，∴MB∥CN，∴△OCN∽△OBM，∵C为OB的中点，即OCOB＝12，∴S△OCNS△OBM＝(12)2，∵A，C都在双曲线y＝6x上，∴S△OCN＝S△AOM＝3，由33＋S△AOB＝14，得到S△AOB＝9，则△AOB面积为94．(1)(2014·深圳)如图，双曲线y＝kx经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足AOAB＝23，与BC交于点D，S△BOD＝21，求k＝__8__．解析：过A作AE⊥x轴于点E.∵S△OAE＝S△OCD，∴S四边形AECB＝S△BOD＝21，∵AE∥BC，∴△OAE∽△OBC，∴S△OAES△OBC＝S△OAES△OAE＋S四边形AECB＝(AOOB)2＝425，∴S△OAE＝4，则k＝8(2)(2014·玉林)如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝k1x和y＝k2x的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M和N，则有以下的结论：①AMCN＝|k1||k2|；②阴影部分面积是12(k1＋k2)；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的是__①④__．(把所有正确的结论的序号都填上)解析：作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，如图，∵四边形OABC是平行四边形，∴S△AOB＝S△COB，∴AE＝CF，∴OM＝ON，∵S△AOM＝12|k1|＝12OM·AM，S△CON＝12|k2|＝12ON·CN，∴AMCN＝|k1||k2|，所以①正确；∵S△AOM＝12|k1|，S△CON＝12|k2|，∴S阴影部分＝S△AOM＋S△CON＝12(|k1|＋|k2|)，而k1＞0，k2＜0，∴S阴影部分＝}，所以②错误；当∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形，∴不能确定OA与OC相等，而OM＝ON，∴不能判断△AOM≌△OCN，∴不能判断AM＝CN，∴不能确定|k1|＝|k2|，所以③错误；若OABC是菱形，则OA＝OC，而OM＝ON，∴Rt△AOM≌Rt△CON，∴AM＝CN，∴|k1|＝|k2|，∴k1＝－k2，∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，所以④正确．故答案为①④试题已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝－1时，y＝1.求x＝－12时，y的值．错解解：设y1＝kx2，y2＝kx.∵y＝y1＋y2，∴y＝kx2＋kx.∴把x＝1，y＝3代入上式，得3＝k＋k，∴k＝32.∴y＝32x2＋32x.当x＝－12时，y＝32×(－12)2＋32×（－12）＝38－3＝－218.答：当x＝－12时，y的值是－218.剖析(1)错解错在设y1＝kx，y2＝kx时取了相同的比例系数k，由于这是两种不同的比例，其比例系数未必相同，应分别设y1＝k1x，y2＝k2x，用两个不同字母k1，k2来表示两个不同的比例系数．(2)在同一问题中，相同的字母只能表示同一个未知量．两个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来表示，以免混淆，从而导致错误．