二项式定理及应用

莱西市数学公开课教案课题：二项式定理及应用课型：复习课教学目标：1、知识目标：（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。（2）使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，熟练二项式定理的应用。2、能力目标：（1）教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。（2）进行化归思想、整体思想的渗透，培养学生的发散思维和逆向思维能力。3、情感目标：通过对二项式定理的复习，使学生感觉到能掌握数学的部分内容，有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，树立学好数学的信心。教学重点：能利用二项式定理解决相关问题教学难点：二项展开式系数的性质及应用教学方法：讲练结合教具：多媒体教学过程：一、课前练习1、设n为自然数，则nnnknknknnnnCCCC)1(2)1(22110等于…………（D）（A）（B）0（C）－1（D）12、(2007江西)nxx)3(3展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（C）（A）4（B）5(C)6(D)73、(2007重庆)nxx)1(展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为…………………（B）（A）10（B）20（C）30（D）1204、（2007安徽）已知5)1(xa0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256小结：1、二项式定理的逆用不可忽视。2、求二项式系数和、二项展开式各项系数和或部分项系数和用赋值法3、研究特定项用通项公式设计目的：复习基础知识，体验二项式定理习题的一般解题方法，锻炼逆向思维能力，让学生演练一些历年高考试题，体验到成功，树立学好数学的信心。二、复习提问：1.二项式定理：nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(教师强调展开式的特点：（1）项数n+1项（2）二项式系数依次为0nC,C1n,C2n,…Cnn(3)指数的特点1)a的指数由n0(降幂)。2)b的指数由0n（升幂）,b的指数与该项组合数的上标相等。3）a和b的指数和为n。抓住特点会逆用。说明：（1）、an-kbk相当于从n个(a+b)中取出k个b，其余n-k个(a+b)中都取a，共knC种取法,故an-kbk的系数为knC，叫做二项式系数。(2)nba)(与nab)(虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的。（3）展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的正整数。由这个恒等式a，b取值的任意性，我们可以令a，b分别取一些不同的值来解决某些问题，这就是我们所说的“赋值法”。2.二项式通项公式：rrnrnrbaCT1（r=0,1,2,…,n）反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系3.二项式系数的性质：（1）在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。（2）二项式系数knC，当k21n时，是递增的；当k21n时，是递减的;因此如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，为2nnC如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等且最大，为21nnC和21nnC（3）nnnnnnnnnnCCCCCC21221015314202nnnnnnnCCCCCC（奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和）4.注意（1）奇数项、偶数项、奇次项、偶次项各自表示的意义。（2）区分“某项”、“某项的二项式系数”、“某项的系数”，如nx)2(的展开式中，第r+1项为rrnrnrxCT21，二项式系数为rnC，项的系数为rnCrn2。设计目的：（1）理解并掌握二项式定理，从几个特征熟记它的展开式。（2）教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。三、典例分析类型一二项展开式及通项公式的应用二项展开式的通项公式，反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数等。例1、已知在nxx)21(33的展开式中，第6项为常数项。（1）求n；（2）求含x2的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项点拨：求指定项应借助通项公式确定r值解析：（1）通项公式为331)21(rrrnrnrxxCT=32)21(rnrrnxC因为第6项为常数项，所以r=5时,有32rn=0,即n=10(2)令32rn=2，得r=2)610(21)6(21n∴所求项的系数为45)21(2210C（3）据通项公式，由题意ZrrZr,1003210令3210r=k(k∈Z),10-2r=3k,r=5-23k,∵r∈Z,∴k为偶数。∴k可取2，0，-2，即r可取2，5，8所以第3、6、9项为有理项，分别为22210)21(xC，288105510)21(,)21(xCC回顾总结：（1）解此类问题分两步：1、据所给条件和通项公式列方程求指数n，2、利用通项公式求指定项（2）区别有理数、有理项、无理项、整式项反馈练习：求1003)(yx的展开式里有多少个有理项？解：设展开式的第1r项为有理项，则325010031001001C)()(CrrrrrrryxyxT对于一切有理项，2r、3r必为整数，则r必是6的倍数。又1000r，∴,12,6,0r96)1(6096n解得17n。故1003)(yx展开式中的有理项有17个。思考：在本题中若问无理项有多少个，如何解决呢？设计目的：使学生掌握利用通项公式求指定项的一般方法，渗透转化思想。类型二：项的系数、二项式系数的性质及应用例2、已知nx)21(的展开式中，某一项的系数是它前一项的系数的2倍，而等于它后一项系数的65。（1）求该展开式中二项式系数最大的项；（2）求该展开式中系数最大的项。（学生思考后，教师引导分析，展开式中系数最大的项不一定是中间一项）解析：（1）第r+1项系数为rrnC2，第r项系数为112rrnC，第r+2项系数为112rrnC，由题意得11rn11222C22rrnrrrnrrnCCC整理得1rn1CrnrnrnCCC即)1(3)(512rrnnr求得n=7∴二项式系数最大的项是第4项和第5项，即（２）假设第ｒ＋１项的系数最大，则117r7117r722C22CrrrrrrCC即112)!6()!1(!72r)!-(7r!7!2)!8()!1(!72)!7(!!7rrrrrrrrrr即12r-7181r2rr解得316313r又∵r∈N,∴第六项的系数最大，展开式中系数最大项为255576672)2(xxCT回顾总结：求展开式中系数最大项步骤是：先假定第r+1项系数最大，则它大于等于相邻两项的系数，列出不等式组求解。反馈练习：在二项式11)1(x的展开式中，求系数最小的项的系数。解：因为在11)1(x的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项56511)1(Cx、第七项65611)1(Cx，所以系数最小的项的系数为.462C511设计目的：区分并掌握求二项式系数最大项和系数最大项的基本方法，提高灵活应用能力，锻炼运算能力及转化思想。类型三：赋值法在二项展开式中的应用例3、设(2－x)7=a0+a1x+a2x2++a7x7，求：（1）a1+a2++a7的值（2）a0+a2+a4+a6的值（3）|a0|+|a1|+|a2|++|a7|的值.解析：令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1①令x=－1，则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37②(1)∵a0=07C27=128,∴a1+a2+a8=－127.(2)(①+②)÷2得：a0+a2+a4+a6=2317=1094（3）（法一）(①-②)÷2得：a1+a3+a5+a7=2317=－1093∵(2－x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零∴|a0|+|a1|+|a2|++|a7|=（a0+a2+a4+a6）－（a1+a3+a5+a7）=2187（法二）|a0|+|a1|+|a2|++|a7|即(2+x)7展开式中各项系数和∴|a0|+|a1|+|a2|++|a7|=37=2187回顾总结：【1】求二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,…,an的和或奇数项偶数项系数和用“赋值法”，设24475233374560)2(,280)2(xxCTxxCTf(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3……+anxn则⑴a0+a1+a2+a3……+an=f(1)⑵a0-a1+a2-a3……+(-1)nan=f(-1)⑶a0+a2+a4+a6……=2)1()1(ff⑷a1+a3+a5+a7……=2)1()1(ff⑸a0=f(0)【2】注意化归思想、整体思想应用，锻炼发散思维，提高应变能力。反馈练习：设：3322103)32(xaxaxaax。求：231220)()(aaaa的值。解：在3322103)32(xaxaxaax令1x，得33120)32()()(aaaa令1x，得33120)23()()(aaaa两式相乘得1)1()()(3231220aaaa。设计目的：进行化归思想、整体思想的渗透，锻炼发散思维，提高应变能力。四、课堂小结：本节主要复习了《二项式定理》的展开式的特点及其《二项式定理》在解题中的应用。1、要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式；2、要注意区分项的系数与项的二项式系数；3、求系数和或部分系数和时，通常用赋值法；4、运用二项式系数最大值性质时应注意区分n是偶数还是奇数；5、通项公式及其应用是复习二项式定理的基本问题，要达到熟练的程度。五：能力自测1、(x3+21)nx展开式中，只有第6项的系数最大，展开式中的常数项是___________.2102、设S=(x－1)4+4(x－1)3+6(x－1)2+4(x－1)+1，它等于下式中的………………………………（C）（A）(x－2)4（B）(x－1)4（C）x4（D）(x+1)43、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)15的展开式中x3的系数解：（法一）416315353444315353433CCCCCCCCC（法二）原式=xxxxxx)1()1()1(1])1(1)[1(1615∴展开式中x3的系数为416C4、求523)12()1(xx的展开式中2x项的系数。解：在3)1(x中2x项的系数为3)1(C223，常数项为1在52)12(x中2x项的系数为102C24，常数项为1故在523)12()1(xx的展开式中2x项的系数为1311013。（另解）523)12()1(xx个共522)12()12()1)(1)(1(xxxxx由于积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的积，故展开式中2x项的系数为1312C11)(C7156223六、思考：有关三项式的问题例题：求(x2+3x+2)5展开式中含x项的系数。点拨：三项式的展开式问题一定可以通过变形，转化为二项式的问题。解法1：5252)23()23(xxxx555424581510)23(C)23(C)23(Cxxxxxx。显然只有5)23(x中含有x项，其系数为24023CC44555。解法2：由于5552)2()1()23(xxxx)22C2C)(1CC(54454155454155