线性代数-第一讲-矩阵的概念与运算

联系方式办公地点：10A217办公电话：86111151手机：[phone]个人信箱：[e-mail]公共信箱：[e-mail]密码：86111151线性代数第一讲线性代数简介线性方程组的概念矩阵的概念矩阵的计算一、线性代数简介•线性代数发展简史十七世纪费马笛卡尔十八世纪末局限于平面和空间十九世纪上半叶n维向量空间•线性代数内容向量与向量空间线性变换线性方程组•线性代数应用范围数学、力学、物理学、运筹学和技术学科；在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练非常有用的；各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。研究生入学考试考试中比重一般为22%1122nnaxaxaxb二、线性方程组的概念•n元线性方程（P1）•n元线性方程组（P2）mnmnmnmn11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb•线性方程组的解解的概念相容（有解）与不相容（无解）解的情况（1）唯一解（2）无穷多解（3）无解二、线性方程组的概念12122128xxxx1212253613xxxx•如何求解线性方程组的解？消元法如何消元？线性方程组的初等变换（三种P3）对换变换（互换两个方程位置）倍乘变换（某个方程两端同乘非零常数）倍加变换（某个方程两端同乘某个常数后，加到另外一个方程上）二、线性方程组的概念问题：如果方程组涉及到几百个上千个的未知数和方程时，消元法怎么进行？三、矩阵的概念•有的人死了，他也不让其他人好好的活，比如九章算术矩阵的初等变换思想（东汉）高斯把一个线性变换的全部系数作为一个整体（高斯消元法）爱森斯坦矩阵乘法西尔维斯特矩阵的概念凯莱矩阵创立者两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等，矩阵乘法可结合，不能交换埃米尔特费罗贝尼乌斯正交矩阵费罗贝尼乌斯矩阵的秩1、矩阵概念的引入mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1）线性方程组的解取决于系数aij和常数项bj(i=1,2,···,n,j=1,2,···,m).mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的研究可转化为对这张数表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为三、矩阵的概念（2）某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站ABCDABCD其中表示有航班.为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:1111111000000000这个数表反映了四城市间交通联接情况.0110101010010100mnmmnnaaaaaaaaa2122221112112、矩阵的定义（P6）定义:由mn个数aij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)排成的m行n列的数表:称为m行n列的矩阵.简称mn矩阵.记作mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211简记为:A=Amn=(aij)mn=(aij).这mn个数aij称为矩阵A的(第i行第j列)元素.9532是一个矩阵,414是一个矩阵.11jiaAij254，其元素矩阵问题：试写出421是一个矩阵,1334567123451012332101A零矩阵(ZeroMatrix):)(型矩阵对nmA注意：.00000000000000000000不同阶数的零矩阵是不相等的.例如：元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.nmnmoo3、几种特殊的矩阵（P7）行矩阵(RowMatrix):列矩阵(ColumnMatrix):方阵(SquareMatrix):只有一行的矩阵,,,,21naaaA称为行矩阵(或行向量).,21naaaB只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).例如：1362222222是一个3阶方阵.行数与列数都等于的矩阵，称为阶nn.nA方阵.也可记作对角阵(DiagonalMatrix):方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。nnaaaaaadiag2121),,(数量矩阵(ScalarMatrix):方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零。nnnkkkEk单位矩阵(IdentityMatrix):nnnE111记作:方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零。EEn或nnnnaaaaaa00022211211nnnnaaaaaa21222111000上三角矩阵下三角矩阵,131,213321zyxBA例1:设解:由于矩阵A=B,则由矩阵相等的定义,已知A=B,求x,y,z.x=2,y=3,z=2.得:2.两个矩阵A=(aij)与B=(bij)为同型矩阵,并且对应元素相等,即aij=bij(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n)则称矩阵A与B相等,记作A=B.同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个行列数对应相等的矩阵称为同型矩阵.例如:为同型矩阵.9101735,642531BAmnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为nm,,ijijbBaAABBA1、加法:四、矩阵的运算注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如：12345698186309153121826334059619583112.98644741113减法:负矩阵：)(BABAmnmmnnaaaaaaaaaA112222111211ija。的称为矩阵负矩阵A矩阵加法满足的运算规律:.1ABBA交换律：.2CBACBA结合律：.4OAA.,03是同型矩阵与其中OAAA2.数与矩阵相乘数乘:.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA规定为或的乘积记作与矩阵数,AAA25023124100462;1AA;2AAA.3BABA数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）,nmBA、定义：skkjiksjisjijiijbabababac12211,,,2,1;,2,1njmi并把此乘积记作.ABC3.矩阵与矩阵相乘ijcC设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中ijaAsmijbBnsnmAB例2：222263422142C221632816415003112101A121113121430B例3：?求AB故121113121430415003112101ABC.解:,43ijaA,34ijbB.33ijcC567102621710注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.106861985123321例如:123321132231.10不存在.例4:计算下列矩阵的乘积.22123解:21322122212221323.634242例5：计算下列矩阵的乘积.43337311020854121111444311117311020854121437311020854121437311020854121矩阵乘法满足的运算规律：;:1BCACAB结合律,:2ACABCBA分配律;CABAACBBABAAB3（其中为数）;;4AEAAE矩阵乘法不满足交换律,BAAB即：例:设1111A1111B则,0000AB,2222BA.BAAB注意：但也有例外，比如设,2002A,1111B则有,AB2222BA2222.BAAB矩阵乘法不满足消去律CBAACAB0,不能推出1111A1111B,0000AB,2222C例如：,0000AC有CB但是ACAB000BAAB或不能推出矩阵乘法的应用•线性方程组、多项式插值•直线方程•平面二次曲线方程•旋转变换•投影变换•反射变换•递推数列21222111ddzyxcbacbayxyxcossinsincos011212221211211yxcbbbaabaayxxxxTTTT1xxxxITTTT2201111101110111FFFFFFFFFnnnnnnnnmnnmmnnyyyaaaxxxxxx21102211111若A是n阶方阵，则为A的次幂，即kAk个kkAAAA,kmkmAAA.mkkmAA为正整数km,方阵的幂：并且,时当BAAB.BAABkkk方阵的多项式：0111)(axaxaxaxfkk