矩阵的基本知识和运算线性代数

1§2.1.1矩阵一、矩阵的定义二、几种特殊矩阵三、同型矩阵与矩阵相等的概念四、小结2大纲要求二、矩阵考试内容矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算3大纲要求二、矩阵考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．4一、矩阵的定义由个数排成的行列的数表nmmnnjmiaij,,2,1;,,2,1mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为矩阵.简称矩阵.nmnm记作5mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为.ijnmijnmaaAA元的矩阵nmA,.,简称为元的元素个数称为这Anm元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.6例如34695301是一个实矩阵,422222222613i是一个复矩阵,33421是一个矩阵,139532是一个矩阵,414是一个矩阵.117例1某厂向三个商店发送四种产品343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA则发送的数量可用矩阵A表示：aij表示向第i店发送第j种产品的数量8例如2222222613i是一个3阶方阵.二、几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵,,,,21naaaA称为行矩阵(或行向量).(1)行数与列数都等于的矩阵，称为阶nnA.nA方阵.也可记作9,21naaaB只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.n00000021（3）形如的方阵,OO不全为010（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.nmnmoo注意.00000000000000000000不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作.,,,21ndiagA11(5)方阵100010001nEE称为单位矩阵（或单位阵）.三、同型矩阵与矩阵相等的概念OO1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为1122.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即ijijbBaA与,,,2,1;,,2,1njmibaijij则称矩阵相等,记作BA与.BA例如9348314736521与为同型矩阵.13例1设,131,213321zyxBA.,,,zyxBA求已知解,BA.2,3,2zyx14四、小结(1)矩阵的概念mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一个数表行nm15(2)特殊矩阵方阵;nm行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵..100010001,21naaaB,,,,21naaaAn0000002116思考题矩阵与行列式的有何区别?17思考题解答矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.18§2.1.2矩阵的运算一、矩阵的加法、减法二、数与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的转置五、方阵的行列式六、共轭矩阵19１、定义mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111一、矩阵的加法、减法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为nm,bB,aAijijABBA20说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如12345698186309153121826334059619583112.98644741113212、矩阵加法的运算规律;1ABBA.2CBACBAmnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113.,04BABAAA矩阵的减法,ija.负矩阵的称为矩阵A221、定义.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA二、数与矩阵相乘规定为或的乘积记作与矩阵数,AAA23;1AA;2AAA.3BABA2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）,nmBA、241、定义skkjiksjisjijiijbabababac12211,,,2,1;,2,1njmi并把此乘积记作.ABC设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中ijaAsmijbBnsnmijcCAB三、矩阵与矩阵相乘25例１222263422142C221632816设415003112101A121113121430B例2?26故121113121430415003112101ABC.解,43ijaA,34ijbB.33ijcC56710262171027注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.106861985123321例如123321132231.10不存在.282、矩阵乘法的运算规律;1BCACAB,2ACABCBA;CABAACBBABAAB3（其中为数）;;4AEAAE若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且5nkAk个kkAAAA,AAAkmkm.mkkmAA为正整数k,m29注意矩阵不满足交换律，即：,BAAB.BAABkkk例设1111A1111B则,0000AB,2222BA.BAAB故30但也有例外，比如设,2002A,1111B则有,AB2222BA2222.BAAB31例3计算下列乘积：213221解213221122212221323.63424232定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.AAA例,854221A;825241TA,618B.618TB１、转置矩阵四、矩阵的转置332、转置矩阵的运算性质;1AATT;2TTTBABA;3TTAA.4TTTABAB34例4已知,102324171,231102BA.TAB求解法1102324171231102AB,1013173140.1031314170TAB35解法2TTTABAB213012131027241.1031314170363、对称阵定义设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.AnTAAn,,,j,iaajiij21A.A为对称阵例如6010861612.称为反对称的则矩阵如果AAAT对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明37例5设列矩阵满足TnxxxX,,,21,1XXT.,,2,EHHHXXEHnETT且阵是对称矩证明阶单位矩阵为证明TTTXXEH2TTTXXE2,2HXXET.是对称矩阵H2HHHT22TXXETTTXXXXXXE44TTTXXXXXXE44TTXXXXE44.E38五、方阵的行列式1、定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或nAAA.detA8632A例8632A则.22、运算性质;1AAT;2AAn;3BAAB.BAAB例：设A是一个奇数阶的反对称矩阵，则|A|=403、定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵AijAnnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵的伴随矩阵.A41性质.EAAAAAnnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann1112121111AAaAaAannnnnnnn2211,AAAAOO44五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵45（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.注意（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.46思考题问等式阶方阵为与设,nBABABABA22成立的充要条件是什么?47思考题解答答,22BABBAABABA故成立的充要条件为BABABA22.BAAB