走进数学建模世界教学设计

《工程问题》教学设计【教材】人教版小学数学教材六年级上册第42～43页例7及相关练习【课时安排】第7课时【教学对象】小学六年级学生【授课教师】肇庆市奥威斯实验小学陈学波【教材分析】工程问题是让学生用分率来解决同一类数量关系的问题。它的解题思路和与之相对应的具体数量应用题基本相同，仍然是工作总量除以工作效率（之和）等于（合做的）工作时间，只是题中没有给出具体的工作总量。解题时，要把工作总量作为单位“1”，用单位时间内完成工作总量的几分之一来表示工作效率。这样，由于解题时遇到的不是具体的数量，有的学生往往感到抽象，而不易理解。【学情分析】在学生已掌握了已知具体工作总量和工作效率，求工作时间的整数应用题解法的基础上【教学目标】知识与技能⑴使学生掌握工程问题的特点。即用分率的形式表示工作总量和工作效率。⑵能灵活运用工作总量、工作效率和工作时间三个量之间的关系解答工程问题。过程与方法（1）经历“假设-验证”的全过程，初步假设法的思想与方法；（2）通过解答工程问题应用题，培养学生综合分析、抽象概括的能力。情感态度价值观（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；（2）感受数学的实用价值，增强应用意识；（3）体会数学以不变应万变的魅力。【教学重点】工程问题的数量关系特点。【教学难点、关键】理解用率的形式表示工作总量和工作效率的含义；关键是运用假设法。【教学方法】引导探究、讨论交流。【教学手段】PPT【教学过程设计】一、教学流程设计二、教学过程设计教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图设计意图：复习工作总量，工作效率和工作时间之间的关系，如果不知道工作总量时，可以用单位“1”来表示，工作效率就是用了几天完成，就用几分之一来表示，为下面知识的展开做好铺垫。设计意图：通过引导，假设，验证，讨论等过程让学生在动手，思考的实践中学会解决工程问题的方法。回顾与反思设计意图：同一道题，不断地改变条件，让学生分析什么量变了，什么量不变，有梯度地设计问题，使知识得到巩固提高。画龙点睛设计意图：从题目总结出解工程问题的方法，回归课本，说说我们的题目与例题有何异同。设计意图：让学生对本节内容进行简明扼要的总结,使学生对本节内容有一个整体认识,起到画龙点睛的作用。温故导入新知探究巩固提高课堂小结（一）温故导入预计时间2分钟（1）修一条300米的公路，每天修20米，多少天能完成？（2）修一条300米的公路，飞虎队修10天完成，平均每天修多少米？（3）修一条路，修10天完成，平均每天修这条路的几分之几？教师引导学生阅读理解问题，并将其理想化学生听讲思考与大学数学建模相比，过去的中学数学建模缺少理想化这一重要的环节。本环节意在恢复数学建模的真实面目。（二）新知探究预计时间3分钟.中国中铁七局集团要修一段长300米的隧道，飞虎队单独修15天完成，雄鹰队单独修10天完成。现在两队合修几天可以完成？教师引导讲解学生听讲思考展示将理想化问题转化为数学问题的数学化过程。（三）求解数学模型解释数学结果预计时间2分钟（四）数学建模过程预计时间2分钟.因为222(2)2()848aaaSxaxx，所以，当4ax时，S有最大值20.125a.此时，22axay.当水槽的横截面设计成矩形时，只要将深度、宽度分别设计为4a和2a时，可得到最大的横截面积，从而可获得最大的流水量。可将上述数学建模的过程概括为下面的框图1：教师引导分析讲解教师引导讲解学生听讲思考求解模型学生听讲思考展示解模过程结合这一实际问题的解决过程，概括出数学建模的基本过程，以实现由具体到抽象的升华。实际问题理想化问题求解数学模型解释数学结果纯数学问题寻找变量关系建立数学模型（五）最优解的探究预计时间7分钟我们前面的设计是将横截面设计成矩形，将深度、宽度分别设计为4a和2a时，可得到最大的横截面积，如果将水槽的横截面分别按照下图中的五种方案进行设计，结果又如何呢？教师将学生分成五个小组，并巡视指导学生解决问题.由于缺少导数工具，教师应引导学生运用观察、试算、估算、来探究方案二的答案.学生动手探究各自的设计方案1.让学生经历数学建模中的优化过程；2.培养学生的探究意识。最优解的探究总结预计时间7分钟下面，我们将全班分成5个小组，分别探究五个方案的设计。最后派代表报告本小组的探究结果.方案一：11()sin()22Sxaxxax222211()0.125.8228aaxaa当90，且12xa时，2max0.125.Sa方案二：12(2sin)cos2333aaSa2(1sin)cos9a（演示数学实验）30时，2144.0aSmas方案三（四个底角为67.5的等腰三角形）：214tan67.50.151.248aaSa方案四（五个底角为72的等腰三角形）：215tan720.154.2510aaSa方案五：2221,.0.159.22aararSra通过比较以上五种方案和横截面设计为矩形时的情况可以得出，方案五是这个实际问题的最优解，即：将水槽的横截面设计为半径为a的半圆形时，从而可获得最大的流水量。教师总结点评最后教师演示数学实验发现答案,并指出运用导数工具可以证明我们的答案是正确的.学生代表讲解各自方案的答案通过观察、试算、估算与数学实验，培养学生的合情推理能力和数学发现能力.（六）什么是数学建模预计时间6分钟以上我们进行了六种设计方案的探究后，才找到了该问题的最优解。这就表明，数学建模需要对所得到的结果进行检验评价，以确认结果是否合理，是否是较好的结果。如果结果不满意，就需要重新回到“理想化问题”这一环节。于是，我们就可以概括出一个较为完善的数学建模过程的框图。框图2：教师讲解概括学生听讲思考1.使学生获得科学的数学建模理论：数学建模与数学模型的概念、数学建模的具体过程；2.体会数学以不变应万变的魅力；3.弥补《标准》中数学的建模理论的不足。实际问题理想化问题求解数学模型问题获得解决结果是否合理是重新理想化结果不理想纯数学问题建立数学模型寻找变量及关系根据这个框图，我们就可以来回答什么是数学建模？数学建模(MathematicalModelling)：就是运用数学化的手段从实际问题中提炼、抽象出一个数学模型，求出模型的解，检验模型的合理性，从而使这一实际问题得以解决的过程。数学模型就是用数学语言符号来描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。例如，各种函数、方程、不等式、不等式组等等都是比较常见的数学模型。世界上最简单的数学模型是表示数的字母a.数学模型“a”有两方面的含义：1.作为结果，她表示的是一个确定的数值，可以参与运算；2.作为过程，她表示的是一个变量：可大可小；可正可负；可以是有理数也可以使无理数。由于数学模型具有高度的抽象性、概括性和结构的确定性，所以数学模型能以不变应万变。不管是中文还是英文，一个字所能表达的意义十分有限，但我们的数学模型“a”却可以表示无穷无尽的对象——流动的世界。又比如说勾股定理，这一模型可以用来处理数以亿计的实际问题。从小到斜边长为一微米的直角三角形到大至斜边长为十万八千里的直角三角形，只要是直角三角形，它们居然都满足同样的结构模型：斜边的平方等于两条直角边的平方之和.我不知道，这个世界上还有什么学科象数学这样如此简洁，如此概括，如此统一。我只知道：“数学的魅力在于，她能以稳定的模式驾驭流动的世界！”（七）牛刀小试预计时间14分钟如下图，某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图所示，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积.60m100m70m80m北东西DEABC数学实验教师解释说明问题.最后演示数学实验.学生动手解决问题1.根据练习律和强化原理，强化刚刚获得的数学建模理论；2.培养学生的问题解决能力。（八）小结与课后思考预计时间2分钟1.小结这节课，我们通过解决一个实际问题，带大家走进了数学建模世界。数学建模就是……；数学模型就是……；数学建模的具体过程…….我们还感受到了“数学的魅力在于，她能以稳定的模式驾驭流动的世界！”2.课后思考（1）将各方案中的图形沿虚线向上翻折，并观察思考：周长为2a的凸多边形，什么时候面积最大？（2）家庭物理小实验先将一条长度固定的柔软丝线的两头连接起来，再将此封闭的曲线轻轻放在一个蒙有肥皂膜的正方形（边长约5cm）铁丝框上的肥皂膜上（注意，别弄破肥皂膜！），最后用小钉将曲线内的肥皂膜刺破。你观察到什么现象，说明了什么问题？（3）请你帮助吉东皇后解决问题吉东是泰雅皇帝的女儿，历经周折，逃到非洲，且成为迦太基的创始人和第一位神奇的皇后。刚到非洲时，吉东要在靠海岸线的地方购买“一张兽皮”的土地：她把兽皮剪成细条，结成长绳，剩下的问题是：怎么围，才会得到最多的土地呢？教师讲解点化教师呈现问题问题1:是让学生探究发现周长一定的凸多边形中，正多边形的面积最大.学生内化数学建模理论学生思考准备解决问题问题2:让学生通过动手实践发现周长一定的图形中，圆的面积最大.1.小结意在强化数学建模理论，形成知识组块；2.设计四个课后思考问题，目的是培养学生的数学探究能力、动手实践能力和数学创新意识。问题3：是等周问题在解决实际问题中的应用.（4）用数学家的眼光看世界音乐家关注声响，文学家关注人性，而数学家则本能关注对象的数量关系、空间形式和结构。用数学家的眼光看世界，就是从数学的角度观察，感受，认识，描述客观对象，进而提出创造性的问题。儿童玩耍时吹出的肥皂泡，总是一个个在空中起舞的彩球；水银落在桌面上，总是呈球形滚动；清晨荷萍树叶上的露水，总是聚成一个个晶莹剔透的水珠；冬日里为避寒而盘成一团的看家狗。面对这些现象，物理学家想到了表面张力的作用。以数学家的眼光，你看到了什么？你有什么大胆的猜想？问题4：是将平面内的等周问题拓展到了空间.【板书设计】（此略）本教学设计的创新之处与数学思维方法渗透的说明