正项级数敛散性判别法的讨论-论文

1正项级数收敛收敛判别法摘要：级数是高等数学教学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分，判别正项级数敛散性的方法很多，本文主要讨论了正项级数的判别法一些特性，及判别正项级数敛散性的一般步骤.并阐述一些正项级数判别的新方法.关键词：正项级数、收敛、判别法Abstract:HigherMathematicsseriesisanimportantpartofteaching,TheseriesofpositivetermsisanimportantseriesPart,PositiveidentificationofConvergenceandDivergenceofmanyways,Thispaperdiscussesthepositiveseriesofdistinguishinganumberofsub-features,anddeterminethepositiveseriesforconvergenceofthegeneralsteps.andpresentsanumberofpositiveseriesofnewmethodsofidentification.Keywords:Positiveseries;Convergence;Discriminance;引言数项级数是数的加法从有限到无限的自然推广.但在作加法运算时，许多有限次加法的性质在计算无限次加法时发生了改变.首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能不存在有意义的结果.也就是说，一个级数可能是收敛或发散的.因而，判别级数敛散性的问题往往被看作级数的首要问题.教材和很多文献已经给出了关于级数敛散性的判别方法，但实际应用中往往会遇到这样的问题：对于一个给定级数，应采用哪种判别法才能快速而又简洁的判定它的敛散性呢？即应按怎样的步骤去思考，在短时间内很难把握.本文就这一问题做了一些总结和讨论.1正项级数的定义和收敛的充要条件1.1正项级数的定义2如果级数1nnu中各项均有0nu,这种级数称为正项级数.1.2正项级数收敛的充要条件如果级数1nnu中，部分和数列nS有界，即存在某正数M，对0,n有nSM.2正项级数判别法2.1比较判别法【1】设nu和nv是两个正项级数，如果存在某个正数N，对一切nN都有nunv，那么(1)若级数nv收敛，则级数nu也收敛；(2)若级数nu发散，则级数nv也发散.比较判别法的极限形式：设nu和nv是两个正项级数.若limnnnulv，则（1）当0l时，nu和nv同时收敛或同时发散；（2）当0l时，若级数nv收敛，则级数nu也收敛；（3）当l，若级数nv发散，则级数nu也发散.2.2比式判别法【２】设为nu正项级数，且存在某正整数0N及常数(01)qq（1）若对一切0nN，成立不等式1nnuqu，则级数nu收敛；（2）若对一切0nN，成立不等式11nnuu，则级数nu发散.3比式判别法的极限形式若为nu正项级数，则（1）当1lim1nnnuu时，级数nu收敛；（2）当1lim1nnnuu时，级数nu发散.2.3根式判别法【2】设为nu正项级数，且存在某正整数0N及常数l（1）若对一切0nN，成立不等式1nnul，则级数nu收敛；（2）若对一切0nN，成立不等式1nnu，则级数nu发散；根式判别法的极限形式:设nu是正项级数，且limnnnul，则（1）当1l时，则级数nu收敛；（2）当1l时，则级数nu发散.2.4积分判别法设()fx为[1,)上非负递减函数，那么正项级数()fn与反常积分1()fxdx同时收敛或同时发散.2.5Raabe判别法【1】设na为正项级数(0)na，且则111(),()nnaloNann（1）当1l时，级数na收敛；（2）当1l时，级数na发散.42.5.1第一对数判别法【2】设na为正项级数(0)na，且1ln()limlnnxaln.则（1）当1l时，级数na收敛；（2）当1l时，级数na发散.2.5.2第二对数判别法【2】设na为正项级数(0)na，且1limlnnxnanla则（1）当1l时，级数na收敛；（2）当1l时，级数na发散.引理1当0x，有不等式ln(1)1xxxx：证明作函数()lnfxx.在区间1,1x上应用lagrange中值定理可得1ln(1)ln111,11111xxxx也就是说，当0x，有ln(1)1xxxx.引理2无穷级数11pnn，当时1p收敛；当时1p发散引理3设级数na和nb为正项级数(0,0)nnab，存在正整数N，当nN，满足不等式:11nnnnabab,则（1）如果nb收敛，则na收敛；（2）如果na发散，则nb发散.5对数第二判别法的证明(1)当1l时，则存在1p，使1lp，由1limlnnnnanla知，对0lp存在正整数N，使得当nN时，有1()nnallppa，即ln1pnnaea.由数列1(1)nn单调递减且趋于e知对一切正整数n有1(1)nen.于是当nN时有11111(1)(1)(1)pnnppnnnnaaannan而无穷级数11pnn，当时1p收敛，故由引理3知当1l时，级数na收敛.(2)当1l时,存在正数1,2pp，使1lpq，由1limlnnnnanla知，对0lp存在正整数1N，使得当1nN时，有1nnaa()lplp，即lnln1pnqnnnaeea根据qee且1lim(1)nnen知，存在正整数2N，得当2nN时有1(1)nqen.6取12max,NNN，则当nN时有lnln1pnqnnnaeea11111(1)(1)nnnnannan而调和级数1n是发散的，故由引理3知当1l时，级数na发散.2.5.3第二对数判别法和Raabe判别法的等价性既然第二对数判别法和Raabe判别法都是以p一级数作为比较标准得出的，那么它们之间有什么内在的必然的联系呢?下面我们将证明第二对数判别法和Raabe判别法是等价的．我们有：定理数列na是正数列，则1limlnnnnanla充要条件是111(),()nnalonann.证明（充分性）若111(),()nnalonann.由引理1有11()11lnln1()(),()11()nnloallnnoonlannnnonn111()ln(),()11()nnnnlnoaannnlnonlaaonn对上式取极限，可得1limlnnnnanla.（必要性）若1limlnnnnanla，有,1ln(0,)nnnnanlna，于是有,11ln(0,),exp()nnnnnnnaallnannann，(0,)nn1limexp()1lim(1)nnnnnlannnlan71111(1),(0,),11(),()nnnnnnnnnaaallnlnonaaannnn由定理可知，第二对数判别法是Raabe判别法的等价变形，因而将第二对数判别法称为Raabe对数判别法更合理一些．对于有的正项级数有Raabe对数判别法是很方便的.应用举例例11!2!!2!nnun分析：本题无法使用根式判别法与比式判别法，因此选择比较判别法进行判断.!10,()!(1)(2)(1)(2)(21)(2)nnnnunnnnnnnn且级数11(21)(2)nnn收敛所以级数收敛.例2112(1)(1)(1)nnnaaaa分析：本题无法使用根式判别法、比式判别法，或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此选用充要条件进行判断11211211(1)(1)(1)(1)(1)(1)nnnnuaaaaaa111212111(1)(1)(1)(1)(1)(1)nnnnnnaSaaaaaanS单调递增且有界所以级数收敛.例31lnnpunn分析：本题分母含有lnn的表达式，优先选择积分判别法8121,(2),1,ln(1)lnppdxxpxxpx当且仅当1p时收敛.2lnln,(2),1,lnpdxxxpxx级数收敛.例42(1)2nn分析：本题中分子中含有(1)n，无法用比式判别法或其他判别法进行判别，所以这种判别法是根式判别法的类型，取上极限进行判别，因此，选用根式判别法.2(1)1limlim122nnnnnnnu级数收敛.3正项级数新的判别方法引理设正数列nu单调递减，则级数1nnu与212nnnu同时收敛【1】.证明级数202nnnu与212nnnu有相同的收敛性，不妨设级数1nnu的部分和为nS，级数202nnnu的部分和为nT.如果级数212nnnu收敛，即级数202nnnu收敛，又由于1nnu是单调递减的正项级数，则有112222nnnnSSuukuu11232212()()nnnuuukuuku12222nuuku=nT所以212nnnu收敛时，1nnu也收敛.反之，当1nnu收敛时，有112342212()()nnnSuuuukuu11242112222nnnuuukuT9所以1nnu收敛时，212nnnu也收敛.命题1（隔项比值法）设正数列nu单调递减，且2limnnnuu.若12，则级数1nnu收敛.证明当21lim2nnnuu时，有22lim21nnnuu.现取2,knkN，就有112.222222lim21lim212kkkkkknnuuuu上式正是正项级数12220222kkkkkuuukuk第k+1项与第k项之比的极限，由比式判别法的极限形式可知212nnnu收敛，再由引理可知1nnu收敛.例1判断正项级数21lnnnn的收敛性.证明因为221ln(1)limlim1ln(1)nnnnunnunn可见比式判别法失效，现2lnnn单调递减，改用隔项比值法求解.222ln(2)11limlimln42(2)nnnnunnunn由此可知级数21lnnnn收敛.命题2设正数列na单调递减，且2limnnnana，若12，则正项级数1nna收敛10证明记222,2,kkkkkkuavukN，由引理可知na与ku同时收敛ku与kv同时收敛，故na与kv同时收敛，在2limnnnana中令22knkN，就有1122221222(2)2222222222kkkkkkkkknnaaaunaaua11122211..222kkkkkkuvuv再令n即得证.例2证明级数的221lnnnn收敛性证明设21lnnunn，因为正数列nu单调递减，且有222222ln11limlimln42nnnnunnnunn由命题2知221lnnnn收敛.4总结与展望数学分析作为数学系的重要专业基