24.6(1)实数与向量相乘(一)

24.6（1）实数与向量相乘几何表示：一、课前复习:向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。有向线段字母表示：aAB、等向量的表示：重要概念：（1）零向量：长度为0的向量，记作0.（2）平行向量：方向相同或相反的向量.（3）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（4）相反向量：长度相等且方向相反的向量.（5）向量的模：向量的长度。模可以比较大小但向量不可以ACOC1.向量的加法运算ABCAB+BC=三角形法则OABCOA+OB=平行四边形法则首尾相接首尾连BC+CD+AB+DE+EF2.向量的减法运算1）减法法则：OABOA－OB=3.加法减法运算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交换律：2）结合律：BAABCDEFAF=多边形法则共起点，连终点，指向被减向量4aa=naa是实数a+a+a+a+……+an个aaaa+++=aaaaaABABAB方向与a相同ABa=4AB=4aa·4=4a4a注意:1.省略乘号，数字在前；2．数字上方无箭头二、探究新知:(-)a+++=aAB方向与a相反a=4(-)a(-)a(-)aa-(-)a·4=-4a-4a-4aa-a-a-AB方向与a相反AB=4aa32a与的关系是什么?a32方向与a相同a32a32a32a与的关系是什么?a32方向与a相反a32a32⑴若k≠0，且a≠0，则的长度＝方向为：k＞0时，与同方向；k＜0时，与反方向；⑵.若k＝0或＝，则＝.设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作：aaakakakakakakaakaaak0aka0三、归纳总结b例1.已知非零向量a，求作：a，b．a3(2)52(1)(3)52a3b思考：||3||423||________abcabc===-，，若，则的取值范围是四、例题解析:例2.如图：在□ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O，设AD=a，BA=b，试用向量a或b表示向量OE，OF，并写出图中与OE相等的向量．HGOFEDCBA12OEb12OFa.OEBFFAGOCHHD与相等的向量有：、、、、EDCBA例3.如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，AD=4DB，试用向量BC表示向量DE．解:∵DE∥BC，AD=4DB45DEADBCAB45DEBC即又∵DE与BC同向45DEBCEDCBA练习.如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC,，试用向量CB表示向量DE．54BCEDADESS四边形解:45ADEBCEDSS49ADEABCSS∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC24()9ADEABCSDESBC23DEBC23DEBC即又∵DE与CB反向23DECB练习：如图：梯形ABCD中，AD∥BC,EF是的中位线，AD=2,BC=3,设AD=a,能将向量BC,FE用a表示出来吗？DFECBA23BCAD与方向相同∵AD=2，BC=33522BCADEF，32BCADFEAD与方向相反54FEAD54EFAD例4.如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，且BC=a，AD=m，用a、m表示下列向量．（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF.解:GFDECBA12ABADDBma12CACDDAam111()2221324BEBAAEmaamma例4.如图：已知△ABC，AD、BE、CF是中线，且BC=a，AD=m，用a、m表示下列向量．（1）AB；（2）CA；（3）BE；（4）CF.解:GFDECBA111()2221324CFCAAFammama1.实数与向量相乘的意义及表示法；2.若k≠O，且a≠O,则：ka的长度为：3.的方向：1)当k＞0时，与a同方向；2)当k＜0时，与a反方向；3)若K＝0或a＝0，则：＝0.kaka.kakakaka五、课堂小结:1.如图：设A,B为两定点，且PA=mAB(m为实数），O为直线外一点，若OA=a,OB=b,试用a，b表示OP．ABPOOPOAAPamAB()(1)ambambma7.在⊿ABC中，D,E,F分别为AB,BC,CA的中点，G为重心，求证：GD+GE+GF=0.AFEDCBG解:设ABaBCbCAc，，1+2AEABBEab1b2BFBCCFc1c2CDCAADa11()(a)032GDGEGFAEBFCDbc