3.3 圆周角和圆心角的关系

圆周角和圆心角的关系ABCODACEB在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关。观察下图中的∠ABC，可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。在图中，当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC。这三个角的大小有什么关系？在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？议一议把图3-13画成图3-14，其中O为圆心。观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC，它们的大小有没关系？说说你的想法，并与同伴进行交流。OBAC图3-14小亮首先考虑了一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O（图3-15）BAOC∵∠AOC是△ABO的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=2∠ABO即AOCABC21图3-15如果∠ABC的两边都不经过圆心，那么结果会怎样？你能将图3-16的两种情况分别转化成图3-15的情况去解决吗？OBAC图3-16CAOB圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。随堂练习1、举出生活中含有圆周角的例子。2、如图，在⊙O中，∠BOC=500，求∠BAC的大小。COBAEODCBA⌒（1）观察图3-17，∠ABC，∠ADC，和∠AEC有什么共同特征？它们的大小有什么关系？为什么？（2）在图3-18中，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角？你是如何判断的？BACO∠ABC=∠ADC=∠AEC（可根据圆周角定理证明）当BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是直角。（3）在图3-19中，圆周角∠BAC=900，弦BC的经过圆心O吗？为什么？在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径。OBAC连接OB、OC，因为圆周角∠BAC=900，所以圆心角∠BOC=1800，即BC是一条线段，也就是说BC是⊙O的一条直径。ODCBA例如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB。BD与CD的大小有什么关系？为什么？解：BD=CD。理由是：如图，连接AD。∵AB是⊙O的直径∴∠ADC=900即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD议一议在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流。做一做船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。PCOABEPCOABE（1）当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？船位于暗礁区域内（即⊙O内）。理由可用假设法：①设船在⊙O上；②设船在⊙O外。船位于暗礁区域外（即⊙O外）。说理方式类似于（1）CBA直径所对的圆周角是直角作一条直径,过直径的两个端点作一个圆周角CBA作一个90°的圆周角,连接两个端点90°的圆周角所对的弦是直径