搜索
3．线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的性质定理(重点)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．相等如图1－3－1，图1－3－1条件：①CD⊥AB；②AP＝PB.结论：AC＝BC.随堂小练图1－3－2解：∵DE垂直平分AB，∴FA＝FB，∴△BCF的周长＝BC＋CF＋BF＝BC＋CF＋FA＝BC＋AC＝4＋6＝10.1．如图1－3－2，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于F，若AC＝6，BC＝4，求△BCF的周长．2．如图1－3－3，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝2∠C.求证：AB＋BD＝DC.图1－3－3证明：如图6，在BC上截取ED＝BD，连接AE，因为AD⊥BC，ED＝BD，图6所以AD是BE的垂直平分线．因为点A在AD上，所以AB＝AE.所以∠1＝∠B.又因为∠1＝∠2＋∠C，∠B＝2∠C.所以∠2＋∠C＝2∠C，所以∠2＝∠C.所以AE＝EC，所以AB＝EC.因为DE＋EC＝DC，所以AB＋BD＝DC.线段垂直平分线性质定理的逆定理(难点)到一条线段两个端点距离________的点，在这条线段的垂直平分线上．随堂小练)B3．如图1－3－4，AC＝AD，BC＝BD，则(图1－3－4A．CD垂直平分ABC．CD平分∠ACBB．AB垂直平分CDD．以上结论都不正确相等用尺规作线段的垂直平分线作已知线段AB的垂直平分线的步骤：第一步：分别以点A和B为圆心，以大于__________的长为半径作弧，两弧交于点C和D.12AB图1－3－5随堂小练4．老师给同学们出了这样一道题：如图1－3－6，城A和城B相距10千米，如今政府为便利两城居民生活，决定要建一个仓库，使得仓库到两城距离相等，请同学们画出仓库位置．第二步：作直线CD.直线CD就是线段AB的______________，如图1－3－5.垂直平分线图1－3－6(1)这样的仓库唯一吗？(2)请多画出几个仓库的位置，它们在一条直线上吗，如果在，这条直线和AB有什么关系？(3)若要求仓库到两城的距离为15千米，则仓库的位置唯一吗？该如何确定？解：(1)不唯一．(2)在一条直线上，在线段AB的垂直平分线上．(3)不唯一，图略．利用线段垂直平分线的性质定理证明线段间的数量关系【例1】如图1－3－7，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证：BF＝2CF.图1－3－7思路点拨：连接AF，证明∠BAF＝90°并寻找BF、AF、CF之间的关系．证明：因为AB＝AC，∠BAC＝120°，所以∠B＝∠C＝30°.连接AF，因为EF是AC的垂直平分线，所以AF＝CF，所以∠FAC＝∠C＝30°.所以∠BAF＝∠BAC－∠FAC＝120°－30°＝90°，所以在Rt△BAF中，AF＝12BF.故BF＝2AF＝2CF.【规律总结】证明线段的和差倍分问题时，常考虑三种方法(以本题为例)：①构造2CF；②取BF的中点；③转化线段CF与要证线段在同一图形中．利用逆定理证明点在线段的垂直平分线上【例2】如图1－3－8，CA＝CB，DA＝DB，EA＝EB.(1)C、D、E三点在一条直线上吗？为什么？(2)如果AB＝24，AD＝13，AC＝20，那么CD的长是多少？图1－3－8解：(1)因为CA＝CB，DA＝DB，EA＝EB，所以，C、D、E三点都在线段AB的垂直平分线上．故点C、D、E三点在一条直线上．(2)连接CD并延长交AB于点P，则CP垂直平分AB.因为AB＝24，所以AP＝12.在Rt△APC和Rt△APD中，因为AC＝20，AD＝13，所以PC＝AC2－AP2＝202－122＝16，PD＝AD2－AP2＝132－122＝5.故CD＝PC－PD＝16－5＝11.