北师大版九年级数学下册3.41圆周角和圆心角的关系第一课时

3.4圆周角和圆心角的关系(1)BACDE1.圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.2.圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心.知识回顾4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。5.定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。3.顶点在圆心的角叫做圆心角.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理.OAEBDC知识回顾∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB∴CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒∵CD⊥AB,CD是直径∴AE=BEAD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒几何语言表达：几何语言表达：.OBCA特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.●OBACBACBACBACBACBACDE练习：1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是是不是不是图１图２图３图４图５做一做如图，∠AOB=80°。（1）请你画出几个AB︵所对的圆周角。这几个圆周角有什么关系呢？请你与同伴进行交流。（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流。●OAB一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如何证明圆周角定理？圆周角定理●OACB●OACB●OACB证明圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.已知：如图，∠ACB是AB︵所对的圆周角，∠AOB是AB︵所对的圆心角。求证：∠ACB=12∠AOB1.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时∵∠AOB是△ACO的外角，∴∠AOB=∠C+∠A.∵OA=OC，●OACB∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C.即∠ACB=∠AOB.21证明圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.已知：如图，∠ACB是AB︵所对的圆周角，∠AOB是AB︵所对的圆心角。求证：∠ACB=12∠AOB2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部时过点C作直径CD.由1可得:●O∴∠ACB=∠AOB.21ACBD∵∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,2121∴∠ACD+∠BCD=(∠AOD+∠BOD)21证明圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.已知：如图，∠ACB是AB︵所对的圆周角，∠AOB是AB︵所对的圆心角。求证：∠ACB=12∠AOB过点C作直径CD.由1可得:●O∴∠ACB=∠AOB.21∵∠ACD=∠AOD,∠BCD=∠BOD,2121ACB∴∠ACD-∠BCD=(∠AOD-∠BOD),213.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,证明圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.已知：如图，∠ACB是AB︵所对的圆周角，∠AOB是AB︵所对的圆心角。求证：∠ACB=12∠AOB转化转化分类讨论、转化方法小结●OACB●OACBD●OACB如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？它们有何共同点？∠ADB与∠ACB有什么关系？同弧所对的圆周角相等.(等弧)都等于这条弧所对的圆心角的一半.圆周角定理推论:BOADC相等的圆周角所对的弧相等.在同圆或等圆中,•在射门游戏中，当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?你能用圆周角定理去解决问题。BACDE●OBACBACBACBACBACBACDE•想一想：同弧或等弧所对的圆周角相等。随堂练习：1.如图,在⊙O中，∠BOC=50°，求∠BAC的大小。BAC●O解：在⊙O中，∠BOC=50°0011502522BACBOC随堂练习：2.如图,哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？OBACD65431278图中有几对相似三角形？知识技能：1.如图,OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？OABC12112AOB122BOC又∵∠AOB=2∠BOC11122222AOBBOCBOC解：∠ACB=2∠BAC，理由:即∠ACB=2∠BAC知识技能：2.如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD与∠BAD的大小o1802BADBODCOBDA解：∵∠BCD=100°∴优弧所对的圆心角∠BOD=2∠BCD=200°∴劣弧所对的圆心角∠BOD=360°-200°=160°3.为什么电影院的座位排列呈弧形，说一说这设计的合理性。答：有些电影院的座位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。数学理解4.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外），与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”。数学理解理由：连接BE,∴∠AEB=∠ACB∵∠AEB∠α∴∠ACB∠α,即∴∠α∠ACB这节课有何收获？！课堂小结1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.2.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.同弧所对的圆周角相等.(等弧)3.圆周角定理推论:相等的圆周角所对的弧相等.4.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧不一定相等.5.在同圆或等圆中,再见