八年级上册13.4课题学习最短路径问题1如图所示,从A地到B地有三条路可供选择,你会选走哪条路最近?你的理由是什么?两点之间,线段最短FEDCBA①②③2将军饮马问题:两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题:将军每天骑马从城堡A出发,到城堡B,途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短?这就是被称为将军饮马而广为流传的问题。3P两点之间线段最短.根据:BA(一)两点在一条直线两侧例1.如图:古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B,途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短?最短路线:将军饮马:A---P---B.4例2.如图:一位将军骑马从城堡A到城堡B,途中马要到河边饮水一次,问:这位将军怎样走路程最短?AB河两点在一条直线同侧(二)一次轴对称:5追问1这是一个实际问题,你打算首先做什么?将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.探索新知B··Al6探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小(如图).BAlC7作法:(1)作点B关于直线l的对称点B′;(2)连接AB′,与直线l相交于点C.则点C即为所求.探索新知问题如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?B·lA·B′C8探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?B·lA·B′C9例2变式:已知:P、Q是△ABC的边AB、AC上的点,你能在BC上确定一点R,使△PQR的周长最短吗?两点在一条直线同侧(一)一次轴对称:10例3变式:已知P是△ABC的边BC上的点,你能在AB、AC上分别确定一点Q和R,使△PQR的周长最短吗?(二)二次轴对称:一点在两相交直线内部11例4:如图,A为马厩,B为帐篷,将军某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮助确定这一天的最短路线。(三)二次轴对称:两点在两相交直线内部12ABA/B/PQ最短路线:APQBlMN13例4变式:如图,OMCN是矩形的台球桌面,有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上,试问怎样撞击白球,使白球A依次碰撞球台边OM、ON后,反弹击中黑球?(四)二次轴对称:两点在两相交直线内部CNMOBA14.'',.AOMABONB作法:(1)作点关于的对称点点关于的对称点''(2)ABOMCOND连结和,交于,交于。则点C、D为所求。.....AA'BB'CDMON例4变式:(四)二次轴对称:两点在两相交直线内部15两点在一条河两侧例5.如图:古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使将军从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)BA(五)造桥选址问题16思维分析BA1、如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?MN2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢?17我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?思维火花各抒己见1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.18上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验.合作与交流1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?19问题解决BAA1MN如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连接A1B交河岸于N作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短.理由;另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1.N1M1由平移性质可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1.AM+MN+BN转化为AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1转化为AA1+A1N1+BN1.在△A1N1B中,由线段公理知A1N1+BN1>A1B因此AM1+M1N1+BN1>AM+MN+BN20问题延伸如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)AB21思维分析如图,问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+QB.QNABMP桥MN和PQ在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种:两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处,PQ平移到B点处22NMPQA1AB思维方法沿垂直于第一条河岸方向平移A点至A1点,沿垂直于第二条河岸方向平移B点至B1点,连接A1B1分别交A、B的对岸于N、P两点,建桥MN和PQ.最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.23(2)把A,B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,化折线为直线,将军饮马的实质:(3)可利用“两点之间线段最短”加以解决。(1)求最短路线问题------通过几何变换找对称图形。(4)“选桥选址问题”移动桥宽后还是可利用“两点之间线段最短”加以解决。24反思是进步的阶梯我的收获;我的疑惑;面对一个新的求线段最短问题时,我们可以通过怎样的途径去研究它?25