唐山市-唐山一中-自主招生数学测试题

唐山市唐山一中自主招生综合素质测试数学试卷第1页共7页唐山市唐山一中自主招生综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）学校姓名准考证号注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）1．实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则化简ba－a的结果为（★★★）A．2abB．bC．ba2D．b2．打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图像大致为（★★★）xyOxyOxyOxyOA．B．C．D．3．对福州市自行车协会某次野外训练的中学生的年龄进行统计，结果如下：年龄（岁）131415161718人数（人）456672则这些学生年龄的众数和中位数分别是（★★★）A．17，15.5B．17，16C．15，15.5D．16，164．下图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点ABC、、均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（★★★）ACBA．B．C．D．5．如下图所示，矩形纸片ABCD中，2AB，6AD，将其折叠，使点D与点B重合，ab0唐山市唐山一中自主招生综合素质测试数学试卷第2页共7页得折痕EF，则tanBFE的值是（★★★）A．72B．1C．2D．3CADFBC'ECBxAyOC1C2C3B3B2B1第5题图第6题图6．如上图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形11OBBC，再以对角线1OB为边作第三个正方形122OBBC，照此规律作下去，则点2015B的坐标为（★★★）A．10082,0B．100710072,2C．100910092,2D．100710072,2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）7．对正实数ab，作定义ababa，若26x，则x★★★．8．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是14，则y与x之间的函数关系式为★★★．9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数00kykxx，的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点A的坐标为32，，且⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点B的坐标为★★★．10．若关于x的不等式组62324xxaxx，有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是★★★．11．将一副三角板按下图1所示的位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已唐山市唐山一中自主招生综合素质测试数学试卷第3页共7页知8ABAC，将MED绕点AM逆时针旋转60后（如图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积是★★★．BCA(M)DEA(M)CBDE图1图212．甲、乙、丙、丁、戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，已知甲赛了5场，乙赛了4场，丙赛了3场，丁赛了2场，戊赛了1场，则小强赛了★★★场．三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）13．（本小题满分13分）如图，过圆O直径的两端点MN、各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于RQ、．（1）求证：NPQ△∽PMR△；（2）如果圆O的半径为5，且4PMRPNQSS，求NP的长．14．（本小题满分13分）如图1，在平面直角坐标系中，直线3342yx与抛物线214yxbxc交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方．．的抛物线上一动点（不与点A、B重合）．过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PEAB于点E，设PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．OPDECBAyxOBAyx图1备用图15．（本小题满分14分）PORQNM唐山市唐山一中自主招生综合素质测试数学试卷第4页共7页古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数．比如：10631…图116941…图2他们研究过图1中的13610，，，，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的14916，，，，…，这样的数为正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；（2）试证明，当k为正整数时，(1)(2)(3)1kkkk必为正方形数；（3）记第n个k边形数为,3Nnkk，例如1,312,33NN，，2,44N．（ⅰ）试直接写出,3Nn，,4Nn的表达式；（ⅱ）通过进一步的研究发现231,522Nnnn，2,62Nnnn，…，请你推测,3Nnkk的表达式，并由此计算10,24N的值．唐山市唐山一中自主招生综合素质测试数学试卷第5页共7页福州一中2015年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）题号123456答案DAABDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7．328．35yxx是非负整数说明：不写范围不扣分9．(16)，10．1214a11．4816312．3三、解答题（本大题共3小题，满分40分）13．（1）证法一：∵MRNQ、为圆O的切线，∴90OMRONQ，∵MORNOQ，∴RQ，———①…………………3分∵MN为圆O的直径，∴90MPN，即90PMNPNM，∵90PNMPNQONQ，∴PMNPNQ，∵OMOP，∴PMNMPR，∴MPRPNQ，———②…………………6分由①②得NPQPMR△∽△．…………………7分证法二：∵OPON，∴ONPOPN，∴QPNPONONPOMPOPMOPNOMPMPN，∵RMPOMPOMR，且90OMRMPN，∴RMPQPN，———③由①③得NPQPMR△∽△．证法三：由②③得NPQPMR△∽△．（注：其他证法对应给分）PORQNM唐山市唐山一中自主招生综合素质测试数学试卷第6页共7页解：（2）由（1）知NPQPMR△∽△，∴2PMRPNQSPMPNS，……………………………10分设PNx，则2PMx，∵90MPN，∴222MNPMPN，即222254xx，……………………………12分解得2x，即2NP．……………………………13分14．解：（1）对于3342yx，当0y时，2x；当8x时，152y．∴A点坐标为(20)，，B点坐标为15(8)2，，…………………………………2分由抛物线214yxbxc经过A、B两点，得120151682bcbc，解得3542bc，．∴2135442yxx．…………………………………4分（2）设直线AB与y轴交于点M，当0x时，32y．∴32OM．∵A点坐标为(20)，，∴2OA，∴2252AMOAOM．…………………………………6分∵::3:4:5OMOAAM．由题意得，PDEOMA，90AOMPED，∴AOM∽PED．…………………………………7分∴::3:4:5DEPEPD．…………………………………8分∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，∴PDPDyy221353313()()44424242xxxxx，……10分∴22121331848(4)542555lxxxx82x，……………11分∴23(3)155lx，∴3x时15l最大．…………………………………13分唐山市唐山一中自主招生综合素质测试数学试卷第7页共7页15．解：（1）36．…………………………………4分（2）∵(1)(2)(3)1kkkk(3)(1)(2)1kkkk…………………………………6分22(3)(32)1kkkk222(3)2(3)1kkkk22(31)kk∴(1)(2)(3)1kkkk是完全平方数，即为正方形数．……………8分（3）（ⅰ）(,3)Nn(1)2nn，…………………………………9分2(,4)Nnn．…………………………………10分（ⅱ）观察(,3)Nn2(1)22nnnn，2220(,4)2nnNnn，23(,5)2nnNn，242(,6)2nnNn，…，由其变化规律，推测2(2)(4)(,)2knknNnk，…………13分∴(10,24)1000N．…………………………………14分