新课标高考数学理一轮复习课件：7.2 平面向量基本定理与向量的坐标运算

1．如果e1和e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任一向量a_________一对实数λ1，λ2，使____________，其中e1和e2是_________．2．(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝_______________．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝________________．不共线有且只有a＝λ1e1＋λ2e2一组基底(x1±x2，y1±y2)(λx，λy)(x2－x1，y2－y1)3．(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件为____________.(2)三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共线的充要条件为_________________________________.x1y2－x2y1＝0(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝01．已知a＝(4,2)，b＝(x,3)，若a∥b，则x等于()A．9B．6C．5D．3解析：a∥b⇔4×3－2x＝0⇒x＝6.答案：B2．设A、B、C、D四点坐标依次是(－1,0)、(0,2)、(4,3)、(3,1)，则四边形ABCD为()A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形答案：D解析：AB→＝(1,2)，DC→＝(1,2)，所以AB→＝DC→，所以AB→∥DC→，又线段AB与线段DC无公共点，所以AB∥DC且|AB|＝|DC|，所以ABCD是平行四边形．由图象易知：四边形ABCD只能为平行四边形．3．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是________．解析：因为OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，所以AB→＝(3,1)，BC→＝(－m－1，－m)．因为点A、B、C能构成三角形，所以AB→与BC→不共线，而当AB→与BC→共线时，有3－m－1＝1－m，解得m＝12，故当点A、B、C能构成三角形时，实数m满足的条件是m≠12.答案：m≠124．已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是________．解析：因为c可唯一表示成c＝λa＋μb，所以a与b不共线，即2m－3≠3m，所以m≠－3.答案：{m∈R|m≠－3}1．平面向量的坐标运算法则是运算的关键．平面向量的坐标运算可将几何问题转化为代数问题，运用它可以解决平面几何、解析几何中的一些问题．2．向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也因为这两种不同的表示而有两种方式．因此向量问题的解决，理论上讲总可有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法．在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．考点一向量的坐标运算关键提示：本题主要考查向量坐标运算．【案例1】已知A(2,3)，B(－1,5)，且AC→＝13AB→，AD→＝3AB→，AE→＝－14AB→，求C、D、E的坐标．解：设C(xC，yC)，D(xD，yD)，E(xE，yE)，则AC→＝(xC－2，yC－3)，AB→＝(－3,2)，所以(xC－2，yC－3)＝13(－3，2)＝－1，23，所以xC＝1，yC＝113，所以C点的坐标为1，113.同理可求得D(－7，9)，E114，52.解析：考查平面向量的坐标运算．答案：(－18,18)(－3，－3)【即时巩固1】如果A、B、C三点的坐标分别为(2，－4)、(0,6)、(－8,10)，则AB→＋2BC→和BC→－12AC→的坐标分别为________、________.考点二向量的平行问题【案例2】已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)求|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？关键提示：对于a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，|a|＝x21＋y21，若a∥b，有x1y2＝x2y1.解：(1)a＋3b＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)，所以|a＋3b|＝72＋32＝58.(2)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)．设ka－b＝λ(a＋3b)，即(k－2，－1)＝λ(7,3)．所以k－2＝7λ，－1＝3λ⇒k＝－13，λ＝－13.故k＝－13时，它们反向平行．【即时巩固2】平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m和n的值；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．解：(1)因为a＝mb＋nc，m，n∈R，所以(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．所以－m＋4n＝3，2m＋n＝2，解得m＝59，n＝89.所以m＝59，n＝89.(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，又因为(a＋kc)∥(2b－a)，所以(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0.所以k＝－1613.考点三平面向量基本定理的应用关键提示：考查平面向量基本定理．【案例3】梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AD、BC的中点，DCAB＝k(k≠1)，设AD→＝e1，AB→＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出下列向量在此基底下的分解式：DC→，BC→，MN→.解：方法1：如图①所示，因为AB→＝e2，且DCAB＝k，所以DC→＝kAB→＝ke2.又AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0，所以BC→＝－AB→－CD→－DA→＝－AB→＋DC→＋AD→＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.因为MN→＋NB→＋BA→＋AM→＝0，所以MN→＝－NB→－BA→－AM→＝BN→＋AB→－AM→＝12BC→＋e2－12AD→＝12[e1＋(k－1)e2]＋e2－12e1＝k＋12e2.方法2：如图②所示，过C作CE∥DA交AB于E，交MN于F.同方法1得DC→＝ke2，则BC→＝BE→＋EC→＝－EB→＋EC→＝－(AB→－AE→)＋AD→＝－(AB→－DC→)＋AD→＝－AB→＋DC→＋AD→＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.MN→＝MF→＋FN→＝DC→＋12EB→＝DC→＋12(AB→－DC→)＝ke2＋12(e2－ke2)＝k＋12e2.【即时巩固3】如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM→＝c，AN→＝d，试用c，d表示AB→，AD→解：方法一：在△ADM中，AD→＝AM→－DM→＝c－12AB→.①在△ABN中，AB→＝AN→－BN→＝d－12AD→.②由①②得AB→＝23(2d－c)，AD→＝23(2c－d)．方法二：设AB→＝a，AD→＝b，因为M，N分别为CD，BC的中点，所以BN→＝12b，DM→＝12a，于是有：c＝b＋12a，d＝a＋12b，解得a＝232d－c，b＝232c－d.即AB→＝23(2d－c)，AD→＝23(2c－d)．