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数学第41课时数形结合思想第41课时数形结合思想•知识考点•对应精练以形助数，以数助形，数形结合万般好。数形结合思想是在相对新颖的数学情境中综合运用数学思想、方法、知识来解决问题，涉及面广，主要有方程、函数、三角形、四边形和圆.要求学生具有融会贯通迁移整合知识的能力、分析转化与归纳探索的能力.1.（2014广州）已知正比例函数y=kx(k0)的图象上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)且x1x2，则下列不等式中恒成立的是（）．A.y1+y20B.y1+y20C.y1-y20D.y1-y20【解析】本题可以利用反比例函数性质解题，但用图象法来解更直观.C2.（2013广东）已知k10k2,则是函数y=k1x-1和的图象大致是()A.B.C.D.A【解析】直线与y轴的交点为（0,－1），故排除B、D，又k2＞0，双曲线在一、三象限，故选A.第41课时数形结合思想3.（2014广东佛山）利用二次函数的图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的近似根（精确到0.1）．【解析】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣1中a=1＞0，∴抛物线开口方向向上，∴对称轴为画出二次函数的图象：根据图象与x轴的交点，得x2﹣2x﹣1=0的近似根x1=﹣0.4，x2=2.4．第41课时数形结合思想4.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．【解析】（1）根据题意得出长×宽=192，进而得出答案；（2）由题意可得出：S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196，再利用二次函数增减性得出答案．解：（1）∵AB=xm，则BC=(28-x)m，∴x(28-x)=192，解得：x1=12，x2=16，答：x的值为12m或16m；（2）由题意可得出：S=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196，∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，∴x=15时，S取到最大值为：S=-(15-14)2+196=195，答：花园面积S的最大值为195平方米．第41课时数形结合思想•真题演练•层层推进基础题1.（2013年广州市）实数a在数轴上的位置如图4所示，则│a-2.5│=（）A.a-2.5B.2.5-aC.a+2.5D.–a-2.52.（2012广东茂名）如果x0，y0，x＋y0，那么下列关系式中正确的是()A、xy―y―xB、―xy―yxC、y―x―yxD、―xyx―y3．(2013珠海)已知函数y=3x的图象经过点A(－1，y1)、点B(－2，y2)，则y1y2(填“＞”或“＜”或“=”).4.(2014年汕尾)已知直线y=kx+b,若k+b=﹣5,kb=6,那么该直线不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.（2014佛山）如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α=．BBA75°第41课时数形结合思想提高题6.(2014广东)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A.函数有最小值B.对称轴是直线x=C.当x,y随x的增大而减小D.当-1x2时，y0【解析】从图象中，我们能看到抛物线开口向上，则有最小值；与x轴交于(-1,0)和(2,0)两点，则对称轴为；当x时，随x的增大而减小；当-1x2时，y0.D第41课时数形结合思想7.(2014深圳)小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）【解析】构造两个直角三角形△ABE与△BDF，分别求解可得DF与EB的值，再利用图形关系，进而可求出答案．∵BE：AE=5：12，=13，∴BE：AE：AB=5：12：13，∵AB=1300米，∴AE=1200米，BE=500米，设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．即：1200+x=（500+x），解得=600﹣250．∴DF=x=600﹣750，∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．B第41课时数形结合思想拔高题8.（2014广州）已知一次函数y=kx-6的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为2．（1）求k的值和点A的坐标；（2）判断点B的象限，并说明理由．解：（1）将y=kx-6与联立得：，∴，A点是两个函数图象交点，将x=2代入上式得：解得k=2故一次函数解析式为y=2x-6，反比例函数解析式为：将x=2代入y=2x-6，得y=2×2-6=-2，A的坐标为(2,-2)（2）B点在第四象限，理由如下：一次函数y=2x-6经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，因此它们的交点都是在第四象限.第41课时数形结合思想课时作业一、选择题1.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°4.已知函数y=(x-m)(x-n)(其中mn)的图象如图41-2所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数的图象可能是()3.如图，圆锥的侧面展开图使半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（）DABC第41课时数形结合思想课时作业5.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长最小，因此（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（）A.2B.1C.6D.10C二、填空题6.一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如图所示的方格地面上，每个小方格形状完全相同，则小鸟落在阴影方格地面上的概率是．7.如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx-3的图像交于点P，则不等式kx-32x+b的解集是．第41课时数形结合思想课时作业8.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为．9.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．10.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．5第41课时数形结合思想课时作业三、解答题11.如图，在矩形ABCD中，，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，求矩形ABCD的面积.解：如图，连接BE，则BE=BC．设AB=3x，BC=5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°，由勾股定理得：AE==4x，则DE=x，∵AE*ED=，即4x*x=，解得：x=或x=-（不合题意，舍去）则AB=3x=，BC=5x=，∴矩形ABCD的面积是AB×BC==5.第41课时数形结合思想课时作业12.已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题．（1）A比B后出发几个小时？B的速度是多少？（2）在B出发后几小时，两人相遇？解：（1）由图可知，A比B后出发1小时；B的速度：60÷3=20（km/h）；（2）由图可知点D(1,0)，C(3,60)，E(3,90)，设直线OC的解析式为y=kx，则3k=60，解得k=20，∴直线OC的解析式为y=20x，设直线DE的解析式为y=mx+n，则，解得m=45，n=-45，∴直线DE的解析式为y=45x-45，解方程组，得，∴在B出发小时后，两人相遇.第41课时数形结合思想课时作业13.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．解：（1）设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm，由条件可得△APN∽△ABC，∴，即，解得，∴，答：这个矩形零件的两条边长分别为，；（2）设PN=xmm，由条件可得△APN∽△ABC，∴，即，解得,∴∴S的最大值为2400mm2，此时PN=60mm，PQ=40mm．第41课时数形结合思想课时作业14.如图，点A(m,6)，B(n,1)在反比例函数图像上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5.（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5，若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由.解:（1）由题意，得，解得，∴m,n的值分别为1，6.设反比例函数关系式为,∴k=1×6=6，∴；（2）存在，理由如下：设E(x,0)，则DE=x-1，CE=6-x，∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，如图，连接AE，BE，△ABE的面积∴x=5，即E(5,0).结束谢谢！