正项级数

11.引言级数是数学分析这门学科中的一个重要部分，而正项级数又是级数中最简单，同时也是级数中最基本的一种级数.证明级数的敛散性是级数的一种重要性质，解决级数的问题多半要涉及到讨论级数的敛散性.由于正项级数在级数中的基础地位，所以讨论正项级数的敛散性是级数的一个基础内容，也是十分重要的内容，所以正项级数敛散性判别法在数学分析中有着重要作用.2.正项级数概念2.1.正项级数定义设有数列nu，即1u，2u，，nu，，将此数列依次相加起来，即1nnu，称为数值级数，其中nu称为级数的第n项或通项.若级数的每一项nu的符号都是正，则称级数1nnu是正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件部分和数列{nS}有上界,即存在某正数M,对0n,有nSM正项级数1nnu收敛.2.3.正项级数敛散性判别法2.3.1.比较原则设1nnu和1nnv是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切nN都有nnuv,那么（1）若级数1nnv收敛,则级数1nnu也收敛；（2）若级数1nnu发散,则级数1nnv也发散；即1nnu和1nnv同时收敛或同时发散.比较原则的极限形式：设1nnu和1nnv是两个正项级数.若limnnnulv,则（1）当0l时,级数1nnu与级数1nnv同时收敛或同时发散；（2）当l=0且级数1nnv收敛时,级数1nnu也收敛；（3）当l=且级数1nnv发散时，级数1nnu也发散.2.3.2.达朗贝尔判别法（或比式判别法）2设1nnu为正项级数,且存在某正数0N及常数q（0q1）(1)若对一切n0N,成立不等式1nnuuq,则级数1nnu收敛；(2)若对一切n0N,成立不等式1nnuu1,则级数1nnu发散.达朗贝尔判别法的极限形式：若1nnu为正项级数,且1limnnnuu=q(1)当q1时,则级数1nnu收敛；(2)当q1或q=时,则级数1nnu发散.2.3.3.柯西判别法（或根式判别法）设1nnu是正项级数,且存在某正数0N及正常数L(1)若对一切0nN,成立不等式nnuL1,则级数1nnu收敛；(2)若对一切0nN,成立不等式nnu1,则级数1nnu发散.柯西判别法的极限形式：设1nnu是正项级数,且limnnnu=l,则(1)当l1时,级数1nnu收敛；(2)当l1时,级数1nnu发散.2.3.4.积分判别法设f(x)为[1,)上非负递减函数,那么正项级数()fn与反常积分1()fxdx同时收敛或同时发散.2.3.5拉贝判别法设1nnu是正项级数,且存在自然数0N及常数r,3（1）若对一切n0N,成立不等式n111nnuru,则级数1nnu收敛；（2）若对一切n0N,成立不等式n11nnuu1,则级数1nnu发散.拉贝判别法的极限形式：设1nnu是正项级数，且极限1lim1nnnuu=r存在，则（1）当r1时,级数1nnu收敛；（2）当r1时,级数1nnu发散.3.判别方法的比较1.当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时,可以选用正项级数的充要条件进行判断.如：001111.12310,,2111111122222npnnnpnSSnnnnn取若令，级数发散2.221(3221)(4232)(5243)(221)122111221lim12nnnnnnSnnnnnnnSSP级数只能用正项级数的充要条件进行判断最为简便.2.当级数表达式型如1nu,nu为任意函数、级数一般项如含有sin或cos等三角函数的因子可以进行适当的放缩,并与几何级数、P级数、调和级数进行比较,1limnnnuu、limnnnu不易算出或1limnnnuu=1、limnnnu=1等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数证明问题时,应4选用比较原则.例：1.1111nnnaa(a1)级数收敛2.ln11(ln)nnn=lnlnln1nne2ln211nen级数收敛比较原则使用的范围比较广泛,适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数.3.当级数含有阶层、n次幂,型如a!或na或分子、分母含多个因子连乘除时,选用达朗贝尔判别法.当通项含(1)n与nu的函数可以选用达朗贝尔判别法的极限形式进行判断,例：1.113(21)!nnn1limnnnuu=21lim1nnn=2级数发散212.(1)(1)(1)nnnxxxx1limnnnuu120x111xxx级数收敛.144747103.2262610343limlim14244710(34)2610(42)nnnnununnn级数收敛4.当级数含有n次幂,型如na或()nnu或通项1lnnpunn即分母含有含lnx的函数,分子为1,或级数含有多个聚点时,可选用柯西判别法.例如：1.121nnnnlimlim21nnnnnun=12,级数收敛一般来说,当选用柯西判别法无法判断时,我们也可以选用达朗贝尔判别法来判断,但有5时候我们用柯西判别法而不使用达朗贝尔判别法,因为柯西判别法得到的收敛条件比达朗贝尔判别法更优.例如：2.1+b+bc+nnbc(0)bc21112limlim111nnnnnnnnbcbcbcbcbcbcbc根式判别法，级数发散，级数收敛，原式=1+b+1+b+级数发散111{lim1lim1bnncnnnnnnnnuuuccuubbu为奇数为偶数比式判别法级数收敛级数发散由例题可知,两种判别法都可以用来判断上题,但柯西判别法与达朗贝尔判别法相比得出的收敛范围更小,约束条件更为详细.因此,上题选用柯西判别法比达朗贝尔判别法更好.在使用判别法时,我们可以选用柯西判别法找到最佳收敛条件.同时也存在只能使用柯西判别法,使用达朗贝尔判别法无法判断的情况.例如：3.(1)2nnlimnnnu=(1)11lim22nnn=12级数收敛不可使用达朗贝尔判别法1limnnnuu=12(1)lim2nn无法判断敛散性因此,当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时,我们可以选用达朗贝尔判别法或柯西判别法.5.当级数表达式型如1nu,nu为含有lnn的表达式或1nu可以找到原函数,或级数nu为[1,)上非负单调递减函数,nu含有sin或cos等三角函数的因子可以找到原函数,可以选用积分判别法.例：633111.lnlnlnlnlnlnnnnunnnxxxudx,其中因为发散，所以级数发散6.当级数同时含有阶层与n次幂,型如a!与na时,或使用比式、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候,选用拉贝判别法.例：11!1.1lim(1)2nnnnnnennunu不能用达朗贝尔判别法11limnnnen无法判断敛散性不能用柯西判别法lim!nnnneunn=无法判断敛散性因此,当柯西判别法与达朗贝尔判别法无法判断敛散性时,我们可以选用拉贝判别法.4.应用举例例11!2!...!(2)!nnun分析：本题无法使用柯西判别法与达朗贝尔判别法,因此选择比较原则进行判断.解!10!(1)(2)(1)(2)(21)(2)nnnnunnnnnnn,()n且级数11(21)(2)inn收敛所以级数收敛.例2112(1)(1)...(1)nnnaaaa分析：本题无法使用柯西判别法、达朗贝尔判别法,或比较原则以及其他的判别法进行判断,因此选用充要条件进行判断.解7121121121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)111(1)(1)(1)(1)(1)(1)nnnnnnnnnuaaaaaaaSaaaaaaS单调递增且有界所以级数收敛.例31lnnpunn分析：本题分母含有lnn的表达式,优先选择积分判别法.2lnpdxxx12211,1(1)lnlnln1,ppppxxp当且仅当时，级数收敛级数发散例4113135224246ppp分析：本题中通项(21)!!(2)!!nnun含有阶层,但不能使用柯西判别法或达朗贝尔判别法进行判断,因此选用拉贝判别法.解12221pnnunun122111112121lim1limlim112pnnnnnnoupnnnnunn当2p1,即p2时,级数收敛.例52(1)2nn分析：本题中分子含有(1)n,无法用达朗贝尔判别法或其他方法判别,这种类型也是柯西判别法的典型类型,取上极限进行判断,因此,选用柯西判别法.解2(1)1limlim122nnnnnnu,级数收敛.85.总结数学分析作为数学系的重要专业基础课程,对学习好其他科目具有重要作用.级数理论是数学分析的重要组成部分,在实际生活中的运用也较为广泛,如经济问题等.而正项级数又是级数理论中重要的组成部分,级数的收敛性更是级数理论的核心问题,要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0,若为0则发散,若不为0则判断级数的部分和是否有界,有界则收敛,否则发散.若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法,或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时,则根据其特点选择适用的方法,如达朗贝尔判别法、柯西判别法或拉贝判别法.当上述方法都无法使用时,根据条件选择积分判别法.当无法使用柯西判别法时,通常可以选用达朗贝尔判别法,当达朗贝尔判别法也无法使用时,使用比较原则,若比较雨泽还是无法判别时再使用充要条件进行断.由此,我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的,每当一种判别法无法判断时,就出现一种新的判别法来进行判断,因此正项级数的判别法有无穷多种.正项级数收敛性判断的方法虽然较多,但使用起来仍有一定的技巧,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断,能够最大限度的节约时间,提高效率,特别是一些典型问题,运用典型方法,才能事半功倍.本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法,比较这些方法的不同特点,总结出一些典型的正项级数,根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断.正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性,也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别,在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径.9参考文献[1]陈欣.关于数项级数求和的几种特殊方法[J].武汉工业学院学报,2002,4.[2]陈金梅.幂级数求和法例谈[J].石家庄职业技术学院报,2005,9.[3]夏学启.贝努利数的简明表达法[J].芜湖职业技术学院学报,2006,2.[4]吴良森等编著.数学分析习题精解[M].北京：科学出版社,2002,2.[5]费定晖,周学圣编著.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].济南：山东科学技术出版社,2005,