散射矩阵

N端口网络的等效：①单模波导或传输线----等效N端口；②多模(n)传输线可等效为n×N个端口（每个端口只有一个模式）。§3.2微波网络的阻抗、导纳矩阵及传输矩阵由等效电压等效电流等效阻抗矩阵导纳矩阵NNNNNNIIIZZZZZZZVVV21122211121121N端口微波网络的阻抗矩阵方程为IZV矩阵形式为：jkIjiijkIVZ,0inikIiiiiZIVZk,011221NiijiiiijjiNNjVZIZIZIZIZI===+++++åLL则可得阻抗参数Zij为其物理含义Zij是所有其它端口都开路时端口j和端口i之间的转移阻抗。Zii是所有其它端口都开路时端口i的输入阻抗。Zij是所有其它端口都开路时用电流Ij激励端口j，测量端口i的开路电压而得；jkIjiijkIVZ,0inikIiiiiZIVZk,0,0iiVI=jI导纳矩阵与阻抗矩阵为逆矩阵：1ZYNNNNNNVVVYYYYYYYIII21122211121121导纳矩阵：1NiijjjIYV==å即：[][][]IYV=矩阵形式为：Yii是其它所有端口都短路时,端口i的输入导纳;Yij则是其它所有端口都短路时,端口j和端口i之间的转移导纳。jkVjiijkVIY,0inikViiiiYVIYk,0同理：jiijjiijYYZZ,2．互易网络互易：如果任意网络是线性互易的，或说线性可逆矩阵即其阻抗矩阵和导纳矩阵都是对称的。t代表转置矩阵;ttZZYY或对于二端口网络则有22212122121111VYVYIVYVYI由各向同性的物质所构成的网络为互易网络。11111222121222IYVYVIYVYV=+=+[]11122122ZZZZZ轾犏=犏臌[]11121222ZZZZZ轾犏=犏臌NnNmnmnmtttavIZIIZIIZIIZIIZIIIZIVP11**1212*2121*1111***21)(2121)(21213．无耗网络由于无耗，则网络的损耗功率(传送给网络的净功率)为零∵，另由于In是独立的，令除n端口电流以外的所有端口电流为零，于是每项的实部必等于零。0ReavP)(*nnnnIZI即0RennZ[]{}{}2*ReReRe0avnnnnnnnPIZIIZ===∴网络无耗令除Im和In以外的所有电流为零，则可得式0)(Re**mnnmmnZIIII0RemnZ∴同理无耗网络的导纳矩阵各导纳的实部也等于零，导纳矩阵亦为虚数矩阵。即对于无耗网络，阻抗矩阵的各项的实部均等于零；即阻抗矩阵为虚数矩阵。**ReReImIm2()nmmnnmnmIIIIIIII+=+211110inACIVZZZZI====+根据分压原理：++V1ZCV2--ZAZB端口2开路时，端口1的输入阻抗：221212111110CCACIZVVVVZZIIVIZZ===??+同理，在端口1开路时，端口2的输入阻抗：CBIZZIVZ0222212112ZZ∴++V1ZCV2--ZAZB网络互易其阻抗矩阵为[]ACCCBCZZZZZZZ轾+犏=犏+臌2121IIZZZZZZVVCBCCCA或：CCBCIZZZZIVIVZ22021121端口1开路时，4.二端口转移矩阵221221DICVIBIAVV(ABCD矩阵、常数参量)ABCD矩阵是用来描述二端口网络输入端口的总电压和总电流与输出端口的总电压和总电流的关系：+V1,I1-+V2,I2-1212VVABICDI轾轾轾犏犏犏=犏犏犏臌臌臌矩阵表示：111121221222VZZIVZZIZ1Z2V1,I1V2,I2V’1I’12211IVDCBAIV其矩阵形式为：注意：ABCD矩阵元素无明确一致的物理意义。对于无耗网络参量A、D为实数，而B、C为纯虚数。C的纲量为导纳2120IICV==2120IVAV==2120VIDI==A,D为无纲量参数2120VVBI==B的纲量为阻抗ABCD矩阵1NiiiiiABABCDCD=轾轾犏犏=犏犏臌臌Õ22221111DCBADCBADCBAN个二端口网络级联时：注意其次序与级联次序同。二个二端口网络级联时：A1B1C1D1A2B2C2D2V1,I1V2,I2V’1I’1112111122111122121VVVABABABCDCDCDIII轾轾轾¢轾轾轾犏犏犏犏犏犏==犏犏犏犏犏犏¢臌臌臌臌臌臌§3.3微波网络的散射矩阵由于在微波频段：（1）电压和电流已失去明确的物理意义，难以直接测量；（2）由于开路条件和短路条件在高频的情况下难以实现，故Z参数和Y参数也难以测量。引入散射参数，简称S参数。00000()()()()()()zziiiiizziiiiiiVzVeVeVzVzVeVeIzIzIzZgggg+--+-+--+-=+=+-==+1．散射参数的定义散射参数是用网络各端口的入射电压波和出射电压波来描述网络特性的波矩阵。00001[()()]21[()()]2ziiiiiziiiiiVVeVzZIzVVeVzZIzgg++---==+==-两边除以，定义如下归一化入射波和归一化出射波。iZ0则可得0000()()()()()ziiiziiiiiiiibzVVeazVVeZzZzZzZgg--++-==-=G=+则第i端口的反射系数为：000()1()()2iiiiiiiVVzazZIzZZ+轾犏==+犏犏臌归一化入射波000()1()()2iiiiiiiVVzbzZIzZZ-轾犏==-犏犏臌归一化出射波aibi则解为：00()[()()]1()[()()]iiiiiiiiVzZazbzIzazbzZ=+=-00()()()()()()()()iiiiiiiiiiVzVzazbzZIzIzZazbz==+==-或归一化电压和归一化电流：则第i个端口的入射功率和反射功率为：22022011221122iiiiiiVPaZVPbZ++--====以归一化入射波振幅ai为自变量，归一化出射波bi为因变量，则可得线性N端口微波网络的散射矩阵方程为：[]12Naaaa轾犏犏犏=犏犏犏犏臌M[]12Nbbbb轾犏犏犏=犏犏犏犏臌M111121122122212NNNNNNNbSSSabSSabSSSa轾轾轾犏犏犏犏犏犏犏犏犏=犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏犏臌臌臌LMMMOMML式中[a]、[b]为N端口的归一化入射波和归一化出射波的矩阵表示形式：0,kiijjakjbSa=?=散射矩阵元素的定义为：NjNiNjijiijijiaSaSaSaSaSb12211Z01Z01Z0jZ02Z02Z0NZ0NN端口网络Z0iZ0iajbNb1bib2akbk对于ak=0,指对于端口的入射波为零，则要求k端口：1)无源；2)无反射；Z0k1Z0kZk=Z0k当除j以外的其它端口的入射波为零时（即接匹配负载时），Sij为在端口j用入射电压波aj激励，测量端口i的出射电压波振幅bi来求得。散射参数的物理意义Sij是当所有其它端口接匹配负载时从端口j至端口i的传输系数Z01Z01Z0jZ02Z02Z0NZ0NN端口网络Z0iZ0iajbNb1bib200000,0,0,//kkkjiiiiijjijjjakjVkjVkjZVZbVSaZVVZ散射矩阵元素的定义为：i=jikViiikaiiiikkVVabS,0,0散射参数的物理意义Sii是当所有其它端口接匹配负载时端口i的反射系数11221NiijjiiiiiiNNjbSaSaSaSaSa===+++++åLLZ01Z01Z0jZ02Z02Z0NZ0NN端口网络Z0ibjbNb1bib2aiZ0j22212122121111aSaSbaSaSb*二端口网络：二端口网络S11和S22分别为1端口和2端口的反射系数；S21为1端口到2端口的传输系数；S12为2端口到1端口的传输系数。条件是另一端口接匹配负载[]11122122SSSSS轾犏=犏臌其散射矩阵：211110abSa==111121221222bSSabSSa轾轾轾犏犏犏=犏犏犏臌臌臌输出端口加负载ZL，若输出端口不匹配，设负载的反射系数为ΓL，即，则散射矩阵变为：22Lab=G11111222211222LLbSaSbbSaSb=+G=+G则输入端口的反射系数为：11221111221LinLbSSSaSGG==+-G与S参数有关，与所接负载有关二端口网络22Lab=G211110abSa==*二端口互易网络：S12=S212112111221LinLbSSaSGG==+-G线性互易二端口网络的散射参数可以用三点法测定：当输出端口短路、开路和接匹配负载时，则有：(1)LG=-(1)LG=(0)LG=212,1122212,1122,1111inscinocinmatSSSSSSSG=-+G=+-G=在测量时分别将输出端口短路、开路和接匹配负载，测出即可由上式计算出S11、S12和S22。,,,,,inscinocinmatGGG互易二端口网络例：求如图的S参量矩阵解：选择参考面如图。端口2接匹配负载时0LZZ=0011112100LininZZinZZbSaaZZ=-==G==+Z0ZZ0Z0Z故有00110002ZZZZSZZZZZ+-==+++0inZZZ=+此时输入阻抗为：[]11122122SSSSS轾犏=犏臌211110abSa==011221120202ZbSSaaZZ====+221102ZSSZZ==+由于网络完全对称：[]0000000002222122222ZZZZZZZZSZZZZZZZZZZ轾犏犏轾++犏犏==犏犏+臌犏犏++臌网络的S参量矩阵ZZ0V1V2ZZ0V1V22．散射矩阵的特性对于各参量：[][]tSS=ijjiSS=1）互易网络散射矩阵的对称性对于互易网络，由于其导纳矩阵和阻抗矩阵都是对称的，故其散射矩阵也是对称的。即有：222221211011111...22222NNiinNiiiVPaaaaZ+===+++==邋由系统的出射功率为：222221211011111...22222NNioutNiiiVPbbbbZ-===+++==邋对于一个N端口无耗无源网络，传入系统的功率为2）无耗网络散射矩阵的幺正性()221102NinoutiiiPPab=-=-=å0]*[][*][][bbaatt将代入上式：[][][]bSa=?0]*[*][][][*][][aSSaaattt因为系统无耗、无源，即损耗功率等于零；因此：用矩阵形式表示[][][]*1*****2121122*2222121tNNNNNNiiaaaaaaaaaaaaaaaaaa=轾犏犏犏==+++犏犏犏犏臌=+++=åLLML式中100010[1]01轾犏犏犏=犏犏犏臌为单位矩阵。整理，得[]{[1][][]*}[]*0ttaSSa由上式得到散射矩阵的幺正性][]*[][USSt对于互易网络，由互易性可得][]*][[USS上两式说明[S]矩阵的任一列与该列的共轭值的点乘积等于1，而任一列与不同列的共轭值的点乘积等于零（正交）。*110NkikjijkijSSijd=ì=ïï==íï¹ïîå即有*11NkikikSS==å即若i=j，ij¹若*10NkikjkSS==å[]1112121221NNNNSSSSSSSS轾犏犏犏=犏犏犏犏臌LMMOMLL3）传输