离散型随机变量的均值与方差习题课

学习目标：1．通过本节课进一步强化对离散型随机变量的均值与方差的理解和运算．2．会直接利用公式求二点分布、二项分布等的均值和方差．3．理解均值和方差的作用．要点梳理1.若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)=_________________________为随机变量X的均值或________.它反映了离散型随机变量取值的________.2.离散型随机变量的均值与方差x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn数学期望平均水平(2)方差称D(X)=______________________________________为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的________其中_______________为随机变量X的标准差.22211()()()()iinnDXxEXpxEXpxEXp平均偏离程度()DX算数平方根①明确含义，确定所有可能取值；②求出概率；③列成表格.3.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=__________.(2)D(aX+b)=________.(a,b为常数)4.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布,则E(X)=_____,D(X)=.(2)若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=______________.aE(X)+ba2D(X)p(1)pp(1)nppnp()()()()1(),()()()(),()()1,()()()()()(|)(),()=()(|)()()0PAUBPAPBPABPABABPAUBPAPBABPAPBABPABPAPBnABPABPBAPABPAPBAnAPAPAA,B互斥反之，成立；对立相互独立（用来判定相互独立）变形不一定：5.事件关系及概率常见公式基础自测1.已知的分布列则在下列式子中：正确的个数是()A.0B.1C.2D.3-101P213161;2723)(②;31)(①DE.31)0(③PC2.若随机变量X的分布列如表,则E(X)等于()A.B.C.D.X012345P2x3x7x2x3xx18191920209C3.设随机变量则()A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45,28.1)(,6.1)(),,(~DEpnB且A4.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=______.169例1、设随机变量ξ具有分布P(ξ=k)=k=1,2,3,4,5,求Eξ2,D(2ξ-1),,51.)1(D1111115123453.555555E.11515514513512511)(22222E解∵利用性质E(aξ+b)=aEξ+b,D(aξ+b)=a2Dξ.251)35(51)34(51)33(51)32(51)31()(22222D(1)2.DDD(2ξ-1)=4Dξ=8,1182探究：某公司有10万元资金用于投资，根据市场分析知道：如果投资甲项目，一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及Eξ；(2)假设把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．某公司有10万元资金用于投资，根据市场分析知道：如果投资甲项目，一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的分布列及Eξ；(2)假设把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．解：(1)依题意，ξ可能的取值为1,0，－1.则ξ的分布列为：Eξ＝12－14＝14.ξ10－1P121414(2)设η表示10万元投资乙项目的收益，则η的分布列为：η2－2Pαβ例2、某校设计了一个实验学科的实验考查方案，考生从6道备选题中一次性地随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算其数学期望；(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．[解](1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ取值分别为1,2,3；η的取值分别为0,1,2,3.P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C22C36＝15，考生甲正确完成题数的概率分布列为：ξ123P153515Eξ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.乙完成题数23,3B∴考生乙做对题数η的期望为Eη＝nP＝3×23＝2.(2)Dξ＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25，Dη＝np(1-p)＝23∴DξDη.)2()2(74.02782712)2(.8.05153)2(PPPP从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从方差考较稳定．从至少完成2题的概率考察，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．达标检测1．设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数X的均值为()A．15B．10C．20D．5B2．设一随机试验的结果只有A和A两种情况，P(A)＝p，令随机变量X＝1，A出现，0，A不出现.，则X的方差为()A．pB．2p(1－p)C．－p(1－p)D．p(1－p)D3．已知随机变量，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34.若X的分布列如下表，则m的值为()X1234p14mn112A.13B.14C.16D.18A4．一个口袋中有6只球，编号为1,2,3,4,5,6，在袋中同时取出3只，则所取的3只球中的最大编号X的均值为______.5.255．设随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝3，p＝，则n＝________，D(X)＝________.21718作业1.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ为此时已摸球的次数.(1)随机变量ξ的概率分布列;(2)随机变量ξ的数学期望与方差2.如下图形状的三个游戏盘中(圆形游戏盘的两个同心圆的半径之比是1：2)，各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．(1)一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？(2)一局游戏后，用X表示小球停在阴影部分的次数与小球没有停在阴影部分的次数之差的绝对值，求X的分布列及数学期望3.甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如下表：乙射击的概率分布如右表：环数5678910次数111124环数78910概率0.20.3p0.1(1)若甲、乙各打一枪，求击中18环的概率及p的值；(2)比较甲、乙射击水平的优劣．1解(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4,所以随机变量ξ的概率分布列为：;101CCCCCA)4(;103CCCCACA)3(;53CCCCC)2(121314151233131415122313221415121312PPPξ234P53103101(2);2510141033532)(E.209101)254(103)253(53)252()(222D2.解：(1)一局后，三个盘中的小球停在阴影部分分别记为事件A1、A2、A3，由题意A1、A2、A3相互独立，且P(A1)＝12，P(A2)＝14，P(A3)＝13.A1∩A2∩A3表示三个盘中的小球都停在阴影部分．P(A1∩A2∩A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＝12×14×13＝124.(2)一局后，小球停在阴影部分的次数可能取值为0、1、2、3，相应的小球没有停在阴影部分的次数可能取值为3,2,1,0，所以X的可能取值为1、3.则P(X＝3)＝P(A1∩A2∩A3)＋P(A1∩A2∩A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝12×14×13＋12×34×23＝724.P(X＝1)＝1－724＝1724.所以分布列为：X13P1724724∴E(X)＝1×1724＋3×724＝1912.3解：(1)p＝0.4.设甲、乙击中的环数分别为X1、X2，则P(X1＝8)＝110＝0.1，P(X1＝9)＝210＝0.2，P(X1＝10)＝410＝0.4，P(X2＝8)＝0.3，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，所以甲、乙各打一枪击中18环的概率为：P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21.(2)甲的均值为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，乙的均值为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4，甲的方差为D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.所以D(X1)D(X2)，乙比甲技术稳定．