离散型随机变量的均值与方差的应用

1.加深对离散型随机变量的均值与方差的理解和运算．2.会利用均值与方差的定义及性质解题3.会直接利用公式求二点分布、二项分布的均值和方差．一、离散型随机变量的均值和方差的概念Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn若离散型随机变量X的分布列为(1)均值称E(X)=_________________________为随机变量X的均值或______________.它反映了离散型随机变量取值的__________.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn数学期望平均水平平均偏离程度()DX算数平方根其中_________________为随机变量X的标准差.(2)方差称D(X)=___________________________________________________为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____________注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。nnpEXxpEXxpEXx2222121)()()(XDX为标准差记作：二、离散型随机变量的性质：(1)E(aX+b)=__________.(2)D(aX+b)=________.(a,b为常数)aE(X)+ba2D(X)p(1)pp(1)nppnp(1)若X服从两点分布,则E(X)=_________,D(X)=______________.(2)若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=_________________.2.两点分布与二项分布的均值与方差1.线性性质：2.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=______.1691173.设随机变量则()A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45,28.1)(,6.1)(),,(~DEpnB且AhhDD则，且、已知,138131例1：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望和方差;[解析](1)X的分布列为：X012P515153(2)由(1)，X的均值为E(X)=1X的方差为D(X)=52练习：某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值与方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值与方差.解析：(1)投篮一次，命中次数ξ的分布列为：ξ01P0.40.6故Eξ=p=0.6,Dξ=np=0.6×0.4=0.24.练习：某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值;方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值与方差.故Eξ=np=5×0.6=3.Dξ=np(1-p)=5×0.6×0.4=1.2.解析：(2)重复5次投篮，命中次数η服从二项分布即η～B(5,0.6)例2:设随机变量ξ具有分布列P(ξ=k)=k=1,2,3,4,5,求E(2ξ+5),D(2ξ-1),,51.3515515514513512511)(E解析：.)1(D∴E(2ξ+5)=2E(ξ)+5=11.ξ是随机变量,则η=aξ+b仍是随机变量,在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质,可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算..)()()()()()()(241014515135513451335132513122222D.2)()1(DD点评：∴D(2ξ-1)=4D(ξ)=8,练习：设随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝3，p＝，则n＝________，D(X)＝________.[解析]因为E(X)＝np＝3，而p＝17，所以n＝3×7＝21，并且D(X)＝np(1－p)＝21×17×1－17＝187.21718例3：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：1400,140021EXEX1240000,160000DXDX在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。练习：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4问题：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛好？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4这表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲射手发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙射手得分相对比较分散。解：9,921EXEX8.0,4.021DXDX答：派甲射手去参加比赛较好。1.求离散型随机变量X的均值、方差的方法与步骤：(1)找出随机变量X的可能取值；写出随机变量X的分布列；(2)由期望、方差的定义求E(X)，D(X)；特别地，若随机变量满足线性性质或服从两点分布、二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)2.均值与方差在实际生产、生活中的作用：它反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中于离散程度。在实际应用中先运算均值，看一下谁的平均水平高，如果均值相同，则计算方差来分析最后的选取由实际情况而定。思考题：规律方法求离散型随机变量X的均值、方差的方法与步骤：(1)理解X的意义，写出X的可能取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由期望、方差的定义求E(X)，D(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)．某校设计了一个实验学科的实验考查方案，考生从6道备选题中一次性地随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算其数学期望；(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．题型三、期望与方差的实际应用[解](1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ取值分别为1,2,3；η的取值分别为0,1,2,3.P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C22C36＝15，考生甲正确完成题数的概率分布列为：ξ123P153515Eξ＝1×15＋2×35＋3×15＝2.乙完成题数23,3Bh∴考生乙做对题数η的期望为Eη＝nP＝3×23＝2.(2)Dξ＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25，Dη＝np(1-p)＝23∴DξDη.从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从方差考察甲较稳定．从至少完成2题的概率考察，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．题型三均值与方差的实际应用【例3】(12分）(2008·广东理,17)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望)；(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少？思维启迪确定随机变量→写出随机变量的分布列→计算数学期望→列不等式求解.解(1)ξ的所有可能取值有6,2,1,-2.故ξ的分布列为(2)E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万元)..02.02004)2(,1.020020)1(,25.020050)2(,63.0200126)6(PPPP621-2P0.630.250.10.02(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29),依题意,知E(ξ)≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03.所以三等品率最多为3%.解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,求得该事件发生的概率,本题第(3)问充分利用了分布列的性质p1+p2+…+pi+…=1.探究提高1.期望与方差的常用性质.掌握下述有关性质，会给解题带来方便:(1)E(aξ+b)=aE(ξ)+b;E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);D(aξ+b)=a2D(ξ);(2)若ξ~B(n,p),则E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p).方法与技巧思想方法感悟提高2.基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的期望、方差,求ξ的线性函数η=aξ+b的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用它们的期望、方差公式求解.1.在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式.2.对于应用问题,必须对实际问题进行具体分析,一般要将问题中的随机变量设出来,再进行分析,求出随机变量的概率分布,然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差.失误与防范问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.49,921EXEX8.0,4.021DXDX练习：(2008·湖北理，17)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.解：(1)ξ的分布列为01234P2120110120351(2)由D(η)=a2D(ξ),得a2×2.75=11,即a=±2.又E(η)=aE(ξ)+b,所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2.当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4..75.251)5.14(203)5.13(101)5.12(201)5.11(21)5.10()(.5.1514203310122011210)(22222DE..4,2,2,2即为所求或baba1.若随机变量X的分布列如表,则E(X)等于()A.B.C.D.解析由分布列的性质,可得2x+3x+7x+2x+3x+x=1,∴E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5x=40x=X012345P2x3x7x2x3xx18191920209.181x.920C5.已知某一随机变量的概率分布列如下,且=6.3,则a的值为()A.5B.6C.7D.8解析由分布列性质知：0.5+0.1+b=1,∴b=0.4.∴=4×0.5+a×0.1+