备战2016高考圆锥曲线最新好题汇编

★备战2016高考圆锥曲线最新好题汇编（含答案）★1．已知椭圆22221(0)xyabab的左顶点为A，右焦点为F，右准线为l，l与x轴相交于点T，且F是AT的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T的直线与椭圆相交于,MN两点，,MN都在x轴上方，并且M在,NT之间，且2NFMF．①记,NFMNFA的面积分别为12,SS，求12SS；②若原点O到直线TMN的距离为204141，求椭圆方程．2．已知抛物线21:2Cypx上一点03My，到其焦点F的距离为4；椭圆2222210yxCabab：的离心率22e，且过抛物线的焦点F．（1）求抛物线1C和椭圆2C的标准方程；（2）过点F的直线1l交抛物线1C于A、B两不同点，交y轴于点N，已知NAAFNBBF，，求证：为定值．（3）直线2l交椭圆2C于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为P，Q，10OPOQOPOQ，若点S满足：OSOPOQ，证明：点S在椭圆2C上．3．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，2），且离心率等于32，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点，点N在线段PQ上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设||||=||||PMMQPNNQ，试求的取值范围．4．如图，1F、2F为椭圆2222:1xyCab的左、右焦点，D、E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率32e，2312DEFS．若00(,)Mxy在椭圆C上，则点00(,)xyNab称为点M的一个“好点”．直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“好点”分别为P、Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．5．如图，过点(0,2)D作抛物线22(0)xpyp的切线l，切点A在第二象限．（1）求切点A的纵坐标；（2）若离心率为23的椭圆)0(12222babyax恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，1k，2k，若kkk4221，求椭圆方程．6．已知曲线1C：22144xy，曲线2C：2221(01)44xy.曲线2C的左顶点恰为曲线1C的左焦点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设00(,)Pxy为曲线2C上一点，过点P作直线交曲线1C于,AC两点.直线OP交曲线1C于,BD两点.若P为AC中点，①求证：直线AC的方程为0022xxyy；②求四边形ABCD的面积.7．抛物线1C：pxy22与椭圆2C：1121622yx在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，OAB的面积为368．（Ⅰ）求抛物线1C的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交1C于C、D两点，射线OC、OD分别交2C于E、F两点，记OEF和OCD的面积分别为1S和2S，问是否存在直线l，使得77:3:21SS？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线2:20Cxpyp的焦点为0,1F，过点F作直线l交抛物线C于A,B两点.椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率32e.PDOBxyAC（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；（Ⅱ）经过A,B两点分别作抛物线C的切线12,ll，切线12ll与相交于点M.证明ABMF；（Ⅲ）椭圆E上是否存在一点M，经过点M作抛物线C的两条切线MAMB，（,AB为切点），使得直线AB过点F？若存在，求出抛物线C与切线MAMB，所围成图形的面积；若不存在，试说明理由.9．（2015湖北高考真题）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1DNON，3MN．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设动直线l与两定直线1:20lxy和2:20lxy分别交于,PQ两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OQP的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．10．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率63e，它的一个顶点在抛物线242xy的准线上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设1122(,),(,)AxyBxy是椭圆C上两点，已知1122(,),(,)xyxymnabab，且0mn.（ⅰ）求OAOB的取值范围；（ⅱ)判断OAB的面积是否为定值？若是,求出该定值，不是请说明理由.11．如图，已知椭圆2222:1(0)xyMabab，焦距为2(0)cc，其离心率为32，2433ac，,BC分别为椭圆M的上、下顶点，过点(,2)(0)Ttt的直线,TBTC分别交椭圆M于,EF两点．TFECBoyx（1）求椭圆M的标准方程；（2）若TBC的面积是TEF的面积的k倍，求k的最大值．12．已知点(0,1)F，直线1:1ly，直线21ll于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线2l于点H．设点H的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程;（2）过点P作曲线的两条切线，切点分别为,CD，①求证：直线CD过定点;②若(1,1)P，过点P作动直线l交曲线于点,AB，直线CD交l于点Q，试探究PQPQPAPB是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．13．已知中心在原点O，左焦点为1(1,0)F的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，1F到直线AB的距离为7||7OB．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆1C方程为：22221xymn（0mn），椭圆2C方程为：2222xymn（0，且1），则称椭圆2C是椭圆1C的倍相似椭圆．已知2C是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆2C于两点M、N，试求弦长||MN的取值范围．14．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆1T，2T都过点(0,2)M，且椭圆1T与2T的离心率均为22.（Ⅰ）求椭圆1T与椭圆2T的标准方程；yxMOPQ（Ⅱ）过点M引两条斜率分别为,kk的直线分别交1T，2T于点P，Q，当4kk时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.15．已知抛物线C：y2=2px（p0），曲线M：x2+2x+y2=0（y0）．过点P（3,0）与曲线M相切于点A的直线l，与抛物线C有且只有一个公共点B．（Ⅰ）求抛物线C的方程及点A，B的坐标；（Ⅱ）过点B作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于S，T两点（不同于坐标原点），求证：直线ST∥直线AO．参考答案1．（1）12（2）①12②2212015xy【解析】试题分析：（1）由F是AT的中点，可得22aacc，整理可得12e；（2）①过,MN作直线l的垂线，垂足分别为11,MN，则11NFMFeNNMM，由2NFMF得112NNMM，故M是NT的中点，∴12MNFTNFSS，进一步得1212SS；②椭圆方程为2222143xycc，设00(,)Mxy，则00(24,2)Nxcy，所以有220022220022143(24)4143xyccxcycc即220022220022143(2)1434xyccxcycc两式相减得：220022(2)3444xxccc，解得074xc，可得0358yc，由此可得故直线MN的斜率为56k，直线MN的方程为56450xyc，再利用原点O到直线TMN的距离为454553641cdc，解得5c，故椭圆方程为2212015xy．试题解析：解（1）因为F是AT的中点，所以22aacc，即(2)()0acac，又a、0c，所以2ac，TBPOSA所以12cea；（2）①解法一：过,MN作直线l的垂线，垂足分别为11,MN，依题意，11NFMFeNNMM，又2NFMF，故112NNMM，故M是NT的中点，∴12MNFTNFSS，又F是AT中点，∴ANFTNFSS，∴1212SS；解法二：∵2ac，∴3bc，椭圆方程为2222143xycc，(,0)Fc，(4,0)Tc，设11(,)Mxy，22(,)Nxy，点M在椭圆2222143xycc上，即有22211334ycx，∴2222211113()()34MFxcyxccx22111111124|2|2422xcxcxccx同理2122NFcx，又2NFMF，故1224xxc得M是,NT的中点，∴12MNFTNFSS，又F是AT中点，∴ANFTNFSS，∴1212SS；②解法一：设(,0)Fc，则椭圆方程为2222143xycc，由①知M是,NT的中点，不妨设00(,)Mxy，则00(24,2)Nxcy，又,MN都在椭圆上，即有220022220022143(24)4143xyccxcycc即220022220022143(2)1434xyccxcycc两式相减得：220022(2)3444xxccc，解得074xc，可得0358yc，故直线MN的斜率为35587644ckcc，直线MN的方程为5(4)6yxc，即56450xyc原点O到直线TMN的距离为454553641cdc，依题意4520414141c，解得5c，故椭圆方程为2212015xy．解法二：设(,0)Fc，则椭圆方程为2222143xycc，由①知M是,NT的中点，故1224xxc，直线MN的斜率显然存在，不妨设为k，故其方程为(4)ykxc，与椭圆联立，并消去y得：22222(4)143xkxccc，整理得：222222(43)3264120kxckxkcc，（*）设11(,)Mxy，22(,)Nxy，依题意：21222221223243641243ckxxkkccxxk由212212324324ckxxkxxc解得：2122221644316443ckcxkckcxk所以222222221641646412434343ckcckckcckkk，解之得：2536k，即56k．直线MN的方程为5(4)6yxc，即56450xyc原点O到直线TMN的距离为454553641ccd，依题意4520414141c，解得5c，故椭圆方程为2212015xy．考点：直线与椭圆．2．（1）24yx、2212yx；（2）证明过程见解析；（3）证明过程见解析。【解析】试题分析：（1）根据抛物线的定义可知342p，所以2p，由椭圆及抛物线的几何性质得1b，又2222221122caeaaa。（2）设直线l的方程为(1)ykx，则(0,)Nk，设,AB两点的坐标分别为1122(,),(,)AxyBxy，根据向量相等坐标相同由NAAFNBBF，得121211xxxx1212121221()xxxxxxxx，然后把直线l的方程与抛物线的方程联立再结合韦达定理可得212212241kxxkxx，然后代入上式得12121212211()xxxxxxxx。（3）设(,),(,)ppQQPxyQxy，则2212PPyx，2212QQyx，由OSOPOQ得(,)pQpQS