备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 专题04 函数的奇偶性 Word版含解析

【高考地位】函数的奇偶性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明函数的奇偶性，利用函数的奇偶性解决实际问题．【方法点评】一、函数奇偶性的判断使用情景：一般函数类型解题模板：第一步确定函数的定义域；第二步判断其定义域是否关于原点对称；第三步若是，则确定()fx与()fx的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；第四步得出结论.例1判断下列函数的奇偶性：(1)22()99fxxx；(2)1()(1)1xfxxx；(3)24()33xfxx.【答案】证明略.【点评】确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证()()fxfx或其等价形式()()0fxfx是否成立．【变式演练1】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．xyxeB．1yxxC．122xxyD．21yx【答案】A【解析】考点：函数的奇偶性.【变式演练2】下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数是（）A．1ln||yxB．3yxC．2ln(1)yxxD．2sinyx【答案】A【解析】试题分析：选项B是奇函数，选项C是增函数，选项D非单调函数，故选A．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性．【变式演练3】已知函数()33xxfx()R（1）当1时，试判断函数()33xxfx的奇偶性，并证明你的结论；（2）若不等式()6fx≤在0,2x上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）偶函数；（2）27≤.【解析】试题分析：（1）由特殊情形可判定函数奇偶性，证明时先确定函数定义域关于原点对称，再证明()fxfx成立（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离，将其转化为对应函数最值：3(63)xx≤的最小值，再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定其最值试题解析：（1）函数()33xxfx为偶函数考点：函数奇偶性，不等式恒成立问题【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.二、利用函数的奇偶性求函数的解析式解题模板：第一步首先设出所求区间的自变量；第二步运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围；第三步利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.例2．已知fx是定义在1,1上的奇函数,当0,1x时,241xxfx，求fx在1,1上的解析式.【答案】2,0,1410,02,1,041xxxxxfxxx．试题解析：当1,0x时,0,1x,因为函数fx为奇函数,224114xxxxfxfx,又000,200,00fffff.故当1,1x时,fx的解析式为2,0,1410,02,1,041xxxxxfxxx.考点：1．分段函数；2．求函数的解析式．【点评】（1）已知函数的奇偶性求解析式的题目，一般是求哪个区间，则设未知数在哪个区间，然后化为已知区间求解；（2）本题是求函数fx在R上的解析式，一定不要忘记0x时，函数fx的值.例3若函数fx是奇函数，gx是偶函数，且其定义域均为{,1}xxRx.若1()1fxgxx，求fx，gx的解析式..Com]【答案】2()1xfxx，211gxx.【点评】这里运用了构造法，把符合要求的奇函数与偶函数构造出来，问题也就解决了，构造的关键是运用奇、偶函数的概念，并联系方程组的知识.【变式演练4】已知定义在R上的函数)(xfy是偶函数，且0x时，)22ln()(2xxxf.当0x时，求)(xf解析式；【答案】)22ln()(2xxxf.试题解析：0x时，0x，∴)22ln()(2xxxf，∵)(xfy是偶函数，∴)()(xfxf，0x时，)22ln()(2xxxf.【变式演练5】定义域为R的函数122xxbfxa是奇函数．（1）求,ab的值；（2）解关于的不等式222210fttft．【答案】（1）2a,1b；（2）1|13ttt或．【解析】（2）由（1）知1211122221xxxfx，由上式知fx在,上为减函数，又因fx是奇函数，从而不等式222210fttft等价于22222121fttftft，因fx是减函数，由上式推得22221ttt，即23210tt解不等式可得113tt或；故不等式的解集为：1|13ttt或．考点：函数的简单性质及二次不等式的求解等有关知识的综合运用．【高考再现】1.【2016高考浙江文数】已知函数()fx满足：()fxx且()2,xfxxR.（）A.若()fab，则abB.若()2bfa，则abC.若()fab，则abD.若()2bfa，则ab【答案】B【解析】试题分析：由已知可设2(0)()2(0)xxxfxx，则2(0)()2(0)aaafaa，因为()fx为偶函数，所以只考虑0a的情况即可．若()2bfa，则22ab，所以ab．故选B．考点：函数的奇偶性.【思路点睛】先由已知条件可得fx的解析式，再由fx的解析式判断fx的奇偶性，进而对选项逐个进行排除．2.【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，3()1fxx；当11x时，()()fxfx；当12x时，11()()22fxfx.则f(6)=（）（A）−2（B）−1（C）0（D）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3.【2016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a足1(2)(2)aff，则a的取值范围是______.【答案】13(,)22考点：利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．4.【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．xexyB．xxy1C．xxy212D．21xy【答案】A．【考点定位】函数的奇偶性判断．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性判断和常见函数性质问题，但既不是奇函数，也不是偶函数的判断可能较不熟悉，容易无从下手，因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除，依题易知B、C、D是奇偶函数，排除得出答案，属于容易题．5.【2015高考福建，文3】下列函数为奇函数的是()A．yxB．xyeC．cosyxD．xxyee【答案】D【解析】函数yx和xye是非奇非偶函数；cosyx是偶函数；xxyee是奇函数，故选D．【考点定位】函数的奇偶性．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特征即定义域关于原点对称，否则即使满足定义，但是不具有奇偶性，属于基础题．6.【2015高考安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（A）y=lnx（B）21yx（C）y=sinx（D）y=cosx【答案】D【解析】选项A：xyln的定义域为（0,+∞），故xyln不具备奇偶性，故A错误；选项B：12xy是偶函数，但012xy无解，即不存在零点，故B错误；选项C：xysin是奇函数，故C错；选项D：xycos是偶函数，且0cosxykx2，zk，故D项正确.【考点定位】本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.【名师点睛】在判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再判断)(xf与)(xf的关系；在判断函数零点时，可分两种情况：①函数图象与x轴是否有交点；②令0)(xf是否有解；本题考查考生的综合分析能力.7.【2015高考天津，文7】已知定义在R上的函数||()21()xmfxm-=-为实数为偶函数,记0.5(log3),af=2b(log5),c(2)ffm==,则,,abc,的大小关系为（）(A)bca(B)bca(C)bac(D)bca【答案】B8.【2015新课标2文12】设函数21()ln(1||)1fxxx,则使得()(21)fxfx成立的的取值范围是（）A．1,13B．1,1,3C．11,33D．11,,33【答案】A【解析】试题分析：由21()ln(1||)1fxxx可知fx是偶函数,且在0,是增函数,所以2212121212113fxfxfxfxxxxxx.故选A.【考点定位】本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法.【名师点睛】本题综合性较强,考查的知识点包括函数的奇偶性及单调性和不等式的解法,本题解法中用到了偶函数的一个性质,即：fxfx,巧妙利用此结论可避免讨论,请同学们认真体会；另外关于绝对值不等式21xx的解法,通过平方去绝对值,也是为了避免讨论.9.【2015高考广东，文3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．2sinyxxB．2cosyxxC．122xxyD．sin2yxx【答案】A【考点定位】函数的奇偶性．【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性，属于容易题．解题时一定要判断函数的定义域是否关于原点对称，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性，即奇函数：定义域关于原点对称，且fxfx；偶函数：定义域关于原点对称，且fxfx．10.【2015高考山东，文8】若函数21()2xxfxa是奇函数，则使3fx（）成立的的取值范围为()（A）()(B)()（C）0,1（）（D）1,（）【答案】C【解析】由题意()()fxfx，即2121,22xxxxaa所以，(1)(21)0,1xaa，21(),21xxfx由21()321xxfx得，122,01,xx故选C.【考点定位】1.函数的奇偶性；2.指数运算.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性及指数函数的性质，解答本题的关键，是利用函数的奇偶性，确定得到的取值，并进一步利用指数函数的单调性，求得的取值范围.本题属于小综合题，在考查函数的奇偶性、指数函数的性质等基础知识的同时，较好地考查了考生的运算能力.11.【2014全国2，文15】偶函数)(xfy的图像关于直线2x对称，3)3(f，则)1(f=________．【答案】3【解析】因为)(xfy的图像关于直线2x对称，故(3)(