理想刚塑性

理想刚塑性体的平面应变问题理想刚塑性材料平面应变问题的基本方程理想刚塑性模型及在平面应变下的受力特点位移：u、v仅是x、y的函数，w=0应变：x=y=xy=其余为零应力：x、y、xy、z0其余为零Levy-Mises增量理论平面应变体积不可压缩条件sz=0，sx=syxuyvxvyuijpijijsyx0z0zyxsz=0z=(x+y)0=(x+y+z)=(x+y)=zsx=sy=x0=(xy)偏应力的剪切分量，sxy=x，syz=szx=0，偏应力的第二不变量为J2==2max偏应力的第二不变量与最大剪应力的平方相等这说明Mises屈服条件与Tresca条件在平面应变刚塑性条件下重合。)(21212222yxxyyxijijssssss22)2(xyyx21312121基本方程在物体中出现两个区域，塑性区和刚性区。（1）刚性区应变率场等于零，应力场满足平衡方程和力边界条件，不违背屈服条件，可以不唯一。（2）塑性区内平衡方程：（不考虑体积力）几何方程0yxyxx0yxyxyxvxxyvyyxvyvryxxy屈服条件（Mises和Tresca）本构方程边界条件＋间断条件求解过程（分两种情况）（1）只有应力边界使用平衡方程、屈服条件及边界条件解出应力分量x、y、xy。不需要考虑几何方程，这说明该问题是静定的。（2）部分边界由速度给定。利用本构方程、几何方程及消去应变率和d，得222)2(kxyyxijijsd不可压缩条件因为刚性区的具体应力分量求不出来，所以上述解不能称为真实解。如果不能校核刚性区的应力是否违反屈服条件，那么对应于上述解的极限荷载最多只能算是真实极限荷载的上限。xyyxyxyxxvyvyvxv20yvxvyx间断条件对于应力场，作用与反作用定律要求：间断线上的应力矢量应连续，(n)+=(n)连续，其余分量可以间断对于速度场，连续性条件要求：法向分量应连续，切线分量可以间断，塑性区可相对于刚性区作相对滑动，即：nnntntttnnvvttvvnnnntttt对于应力间断线，两侧都是塑性区，即两侧应力都满足屈服条件切向应力间断值[t]应满足的条件22244)(knttn22244)(knttn224nttttk滑移线的概念理想刚塑性体破坏一旦塑性区形成，就会产生无限制的塑性流动，试验表明：塑性流动破坏往往沿最大剪应力方向。滑移线：在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线有两族，且相互正交，一族称为，一族称为沿两个正交的滑移线方向取微单元体，每个面上的剪应力为k。正应力应为(x+y)/2=，即等于平均应力滑移线规定：从1顺时针转过450到达的最大剪应力方向为方向，另一个是方向。直观方法：当微单元体两侧的剪应力使得它产生顺时针转的趋势时，则滑移线为线，否则为线。kkkk•滑移线方向的微单元体求解变量x，y，xy正应力（剪应力k）及滑移线方向与坐标轴的夹角x=＋kcos2y=kcos2xy=ksin2kkkxyx2若用表示x轴逆时针转到线方向的夹角，则有=+/4，x＝ksin2y＝+ksin2xy＝kcos2显然，一旦，求出，则该点的应力状态求出。平衡方程沿线，2k=const1沿线，+2k=const2或者写成增量的形式沿线，=2k沿线，=2k0)2sin2(cos2yxkx0)2cos2(sin2yxky0)2(ks0)2(ks速度方程求解vx=vcosvsin，vy=vsin+vcos(vcosvsin)＝0(vsin+vcos)＝02tan2xyyx0)(2tanxvyvyvxvyxyx0,0yvxvyxxy沿线：dvvd=0沿线：dv+vd=04个方程，恰好包含4个未知量，，v和v，结合边界条件和间断条件就可求出整个滑移场的应力和速度，以及相应的极限荷载。vvvv滑移线的性质1与2滑移线之间，沿任何线，、的改变值保持为常数。证明：沿线：2k=C，沿线：＋2k=C显然有=(C＋C)/2，=(CC)/2上式是指同一点的、、C、C应满足的关系，1,1=(C1C1)/4k，1,2=(C1C2)/4k2,1=(C2C1)/4k，2,2=(C2C2)/4k1,11,2=2,12,2同理1,11,2=2,12,2滑移线坐标x、y已知，若任一点的值已知，其它各点的应力值均可求出BC说明：设A点的A已知，根据已知条件，A点的A也已知沿线：A2kA=C1可算出C1，C2kC=C1可算出C（因为C已知）沿线：C＋2kC=C1可算出C1，B＋2kB=C1可算出B若滑移线为直线，则沿该直线、、C和C以及x，y和xy均为常数。说明：设线为直线，则沿该直线为常数，由于在同一条滑移线上C是常数，因此=C+2k也是常数。若1，2之间的某条线为直线，则1，2之间的所有线都为直线。说明：直接由性质（1）确定。塑性区的边界条件n为边界的法线方向，n与x轴的夹角为（从x轴逆时针转到n为正）。设x轴取在n轴方向，y轴取在边界切线t轴方向，则n＝ksin2()，t＝+ksin2()，nt＝kcos2()在边界给定n、nt和（t无法给定）xnnnt+m＝n+ksin2()取m=0，从上式有2()=arccos(nt/k)，=nksin[arccos(nt/k)]边界给定n、nt时，有两组、解与之对应，两组解的平均应力之差是[]=2ksin[arccos(nt/k)])/arccos(21knt应力圆解释：已知应力圆上的一点（因为边界上给定了应力n、nt）和它的半径（因为半径为最大剪应力k），则可作两个应力圆。到底取哪一个需要从问题的整体力学性质决定。边界上t=2n，当取不同值时，t也不同，而t的大小往往由问题的性质决定。nnnntA'CC'双边受拉长方体，对于左右边界，nt=0，=450，而=0，表明滑移线与边界交成450；得：t＝x+k或t＝xk，边界条件确定取哪一个t，当yx，t为大主应力t＝x+ksin()＝1，=450。当yx时，t为小主应力t＝xk，sin()＝1，=450，yxxyxy控制方程沿线，2k=const1或d=2kd沿线，+2k=const2或d=2kd沿线：dvvd=0沿线：dv+vd=0边界条件+m＝n+ksin2()间断条件)/arccos(21knt224nttttk典型滑移场均匀应力滑移场边界上nt=0，n=const，则=const，在该区域内，n、=const，故由这条边出发的滑移场是两族与边界成450的直滑移线，滑移区域是一等边三角。简单应力滑移场紧接均匀应力区的塑性区，其中有一族滑移线一定是直线，这种塑性区称为简单应力区由滑移线性质（4），由于OB是直线，在区域OBC中有一族滑移线是直线，另一族滑移线是同心圆弧。在与均匀应力场相连接的地方，因为曲率发生跳跃，在点O处的是不确定的。OABCD轴对称问题：厚壁圆筒受内水压力，使用极坐标（r，）描述。r=0滑移线与径向r交成450，以r=f()表示滑移线的轨迹，有：0是边界上r=R处的角。当r时，沿线，上式取“+”号。沿线：d＝2kd，=+450，d=d，故d＝2kd积分上式，由于rr=R=p得：r=2kp;=2k+r14tandrrdRrln0)(lnRrRrln楔形体单边受压楔形体的张角为2，在OD边上的一段给定垂直向下的速度分布vy=V(x)，同时给定xy=0，在OA边上n=nt=0，求滑移线与极限荷载。OABCDxyp，线必须正确确定已知OA边界n=0，nt＝0，max＝k，经分析：t0，于是可确定剪应力的方向，可确定哪一条是线。求极限荷载pOA边，t0，n=0是大主应力，n=1＝＋k＝0，A==k。OAB是均匀应力区，得B=A=k，沿BC线（线），d=2kd，从B点到C点，=2/2，得C=B2k=k2k(2/2)=2k(2+1/2/2)OCD是均匀应力区，则D=C在OD边，n=ps是小主应力，n=2=Dk=ps，因此有ps=2k(2+1/2)