正项级数收敛性判别法的比较及其应用

正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract:Thispapermainlyintroducesthepositiveseriesconvergenceofseveralmainmethodsofsolvingtheseninemethods,throughcomparingeachother,usingtypicalpositiveseries,therebyincreasingpositiveseriesmethodsofproof.Keywords:positiveseries;convergence;typical;methods;compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列nS有界，即存在某正数M，对Nn，有nSM。2、几种不同的判别法(1)比较判别法设1nnu和1nnv是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切nN都有nnvu那么i若级数1nnv收敛，则级数1nnu也收敛；ii若级数1nnu发散，则级数1nnv也发散；比较判别法的极限形式：设1nnu和1nnv是两个正项级数。若lvunnnlim，则i当0l时，1nnu与1nnv同时收敛或同时发散；ii当0l且级数1nnv收敛时，1nnu也收敛；iii当l且1nnv发散时，1nnu也发散。(2)比值判别法设1nnu为正项级数，NN0，有i若对一切0Nn，成立不等式11quunn，则级数1inu收敛；ii若对一切0Nn，成立不等式11nnuu，则级数1inu发散。(3)根式判别法设1nnu是正项级数，且存在某正整数0N及正常数Mi若对一切0Nn，成立不等式1Munn，则级数1inu收敛；ii若对一切0Nn，成立不等式1nnu，则级数1inu发散。根式判别法的极限形式：设1nnu是正项级数，且lunnnlim，则i当1l时，级数1nnu收敛；ii当1l时，级数1nnu发散；iii当1l时，级数的敛散性进一步判断。(4)柯西积分判别法对于正项级数1nnu，设nu单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值函数0xfxf，使得当x等于自然数n时，其函数恰为nu。那么级数1nnu积分，xdxfAn1，同时收敛或同时发散。(5)拉贝判别法设1nnu是正项级数，且存在自然数0N及常数r，i若对一切0Nn，成立不等式111ruunnn，则级数1inu发散；ii若对一切0Nn，成立不等式111nnuun，则级数1inu收敛拉贝判别法的极限形式：设1nnu是正项级数，且极限ruunnnn11lim存在，则i当1r时，级数1nnu收敛；ii当1r时，级数1nnu发散。iii当1r时，拉贝判别法无法判断。(6)阿贝尔判别法如果：i级数1nnb收敛；ii数列na单调有界，,3,2,1nKan，则级数1nnnba收敛。(7)狄立克莱判别法——变量级数判别法如果：i级数1nnb的部分和nB有界，,3,2,1nMBnii数列na单调趋近于零，则级数1nnnba收敛。注：阿贝尔判别法与狄立克莱判别法是任意级数判别法，但也适用正项级数。(8)对数判别法设0a，0nn，1nnu为正项级数，若iann1ln1ln，0n，1nnu收敛ii1ln1lnnn，1nnu发散。(9)高斯判别法设1nnu为正项级数，若nnaaaunnln1ln111，则在1时，级数1nnu收敛;1时，级数1nnu发散。三、判别方法的比较1、当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含有二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的比较判别法判断。如：（1）n131211取2100，n，若令np0212121212111nnnnnSSnpn所以级数发散（2）1222nnnnnnnSn122...342523241223=1221nn=12121nnS=21limnnSP级数只能用正项级数的比较判别法进行判断最为简便。2、当级数表达式形如nu1，nu为任意函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P级数、调和级数进行比较nnnuu1lim、nnnulim不易算出或1lim1nnnuu、等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。例：（1）11111nnnaaa级数收敛2（2）12ln2lnlnlnln111ln1nnnnnneen级数收敛比较判别法使用适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。3、当级数含有n的阶乘，n次幂，形如!a或na或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。当通项含na的函数可以选用比值判别法的极限形式进行判断，例：（1）13!1231nnn2112limlim1nnuunnnn级数发散（2）112arctannnn利用0a时，有等价无穷小关系aa~arctan，若记12arctannnna，则121221lim2arctan2arctan1limlim12121nnnnnnnnnnnnnaa，所以级数112arctannnn收敛当4、当级数含有n次幂，形如na或nnu或通项nnupnln1即分母含有含xln的函数，分子为1，或级数含有多个聚点时，可选用根式判别法。例如：（1）112nnnn2112limlimnnunnnn级数收敛一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比值判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比值判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比值判别法更优。例如：（2）41nncbbcbcb0用根式判别法bccbnnnn1211limbccbnnnn2limbc1，级数发散bc1，级数收敛bc=1，原式bb11级数发散用比值判别法1lim1____ccuunnn级数收敛1lim1bbuunnn级数发散由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但根式判别法与比值判别法相比得出的收敛范围更小，约束条件更为详细。因此，上题选用根式判别法比比值判别法更好。在使用判别法时，我们可以选用根式判别法找到最佳收敛条件。同时也存在只能使用根式判别法，使用比值判别法无法判断的情况。例如：（3）512n212121limlim1nnnnnnu级数收敛不可使用比值判别法nnnnnuu12112limlim无法判断敛散性因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时，我们可以选用比值判别法或根式判别法。5、当级数表达式形如nu1，nu为含有nln的表达式或nu1可以找到原函数，或级数nu为,1上非负单调递减函数，nu含有nln等的因子可以找到原函数，可以选用柯西积分判别法。例：3lnlnln1nnnn，其中xxxxulnlnln1因为3dxxu发散，所以级数发散6、当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列；或可化为n1，如：nnn1121；也可以行如nusin，nu为任意函数，则可以选用狄立克莱判别法。阿贝尔判别法也可以看成是狄立克莱判别法的特殊形式。例：设1nnb收敛，则级数nnnnb111，nnbnn213ln1等都是极限。7、当通项可通过泰勒展开式等方法找到其等价式，则可以通过判断其等价式的敛散性来判断原正项级数的敛散性，这需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用，以及对各种等价式能够熟练的运用。例：（1）0!2sinanena!1!111nQe（泰勒展开式）!1!21!111!2sin!2sinnnen=2121212!11!2sinnnnnnn=nnnnnn2~121212sin2aannen12~!2sin因为an12收敛所以原级数收敛8、当1nnuu的值可化为泰勒开式，则选用高斯判别法。如：（1）1ln62nxe2log，级数收敛e2log，级数发散（2）7ln11nnxnp0lnlimnnxQn，当n充分大时，0nu当0x，级数为pn1如果1p，则级数收敛；如果1p，则级数发散当0x，nnxnnxnuxpnln1lnlnln=21ln21lnnunnnuunuunnnun其中1,0lnnnnxun当x时，,0,0nnux由洛必达法则21121lim2111lim1lnlim1lnlim22nnnnnnnuuu11lim,0lnlimxpnnxpnnnunu级数收敛9、当通项xnunln或xgnxfulnln可以选用对数判别法。例：8lnlnln1xnnunnunlnlnlnln1ln对,0,0na当0nn时，an1lnlnln级数收敛四、应用举例例1!2!!2!1nnun分析：本题无法使用根式判别法与比值判别法，因此选择比较判别法进行判断解nnnnnnnnnnnun,21212121!!0且级数12121nnn收敛所以级数收敛例2121111nnnaaaa分析：本题无法使用根式判别法、比值判别法，或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此选用充要条件进行判断。解nnnaaaaaau111111112112111111111121121nnnnnaaaaaaaS