数值计算方法期末试题及答案

西科大研究生数值计算方法期末试题和答案第1页共5页研究生数值计算方法期末试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共10分）1．在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为51021，则该数是（）A0.001523B0.15230C0.01523D1.523002．设方阵A可逆，且其n个特征值满足：n...21，则1A的主特征值是（）A11Bn1C1或nD11或n13．设有迭代公式fxBxkk)()1(。若||B||1，则该迭代公式（）A必收敛B必发散C可能收敛也可能发散4．常微分方程的数值方法，求出的结果是（）A解函数B近似解函数C解函数值D近似解函数值5．反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（）A追赶法BLU分解法C雅可比迭代法D高斯—塞德尔迭代法二．填空题（每小题4分，共20分）1．设有方程组02132432132132xxxxxxxx，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为西科大研究生数值计算方法期末试题和答案第2页共5页2．设111112101A，则A3．设1)0(,2'2yyxy，则相应的显尤拉公式为1ny4．设1)(axxf,2)(xxg。若要使)(xf与)(xg在[0，1]上正交，则a=5．设Tx)1,2,2(，若有平面旋转阵P，使Px的第3个分量为0，则P=三．计算题（每小题10分，共50分）1．求27的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？2．设42)(xxxf,若在[-1，0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。3．设有方程组1221122321321321xxxxxxxxx，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。4．试确定常数A，B，C及，使求积公式)()0()()(11CfBfAfdxxf为高斯求积公式。5．设有向量Tx)2,1,2(，试构造初等反射阵H，使TxH)0,0,3(。四．证明题（每小题10分，共20分）1．设有迭代公式32421kkkxxx，试证明该公式在4*x邻近是2阶收敛的，并西科大研究生数值计算方法期末试题和答案第3页共5页求21)4(4limkkKxx。2.设yx,是n维列向量，Q为n阶正交矩阵，且yQx，试证22xy。一、单项选择题（每小题2分，共10分）1-5CBCDB二、填空题（每小题4分，共20分）1、)1(2)1(1)1(3)(3)1(2)(3)(2)1(124132kkkkkkkkxxxxxxxx（k=0,1,2…）2、43、)2(1210nnnnyxhyyy（n=0,1,2…）4、435、P(1,3)=3203101031032三、计算题（每小题10分，共50分）1、解：设近似值应取n位有效数字（2分）利用相对误差与有效数字的关系得：3)1(10271021n（9分）解得n=3（10分）2、解：由法方程的一般形式:),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(210210221202211101201000fffaaa（4分）令1)(0x，xx)(1，22)(xx，42)(xxxf（6分）得到具体法方程为：西科大研究生数值计算方法期末试题和答案第4页共5页0120101210014013012013012010120101)()()(1dxxxfxdxxfdxxfaaadxxdxxdxxdxxdxxxdxdxxxdxdx（10分）3、解：雅可比迭代的迭代矩阵为ADEB10（3分）=1221112211000100011000100011022102220（7分）可求得谱半径1)(0B，利用收敛的充分必要条件，雅可比迭代解此方程组收敛。(10分)4、解：令432,,,,1)(xxxxxf分别代入，令两边相等联立方程组（3分）52)(32)(2520320242443322CAaCAaCACBACaAaCaAaCaAaaCaACBA可解得：A=C=5/9,B=8/9,515a（6分）由求解过程，可知此求积公式至少有四次代数精度。然后由于5)(xxf带入也相等，因此有5次代数精度，由定义是高斯求积公式。（10分）西科大研究生数值计算方法期末试题和答案第5页共5页5、解：x和xH为两个不相等的向量，且2-范数相等，则令向量2||||xHxxHxw，（5分）初等反射阵TwwEH2(8分)12222121231（10分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：迭代函数为324)(2xxx（4分）0)32(86)(2)(2**2**'xxxx，0)32(50)(3**''xx由收敛阶定理，为2阶收敛。（8分）极限式=52!2)(*''x(10分)2、证明：矩阵范数1)(||||max2QQQT（4分）由矩阵范数定义2202||||||||max||||xQxQx，与上式比较得222||||||||||||xyQx。（8分）同理，yQx1（其中1Q为正交阵），可得2221||||||||||||yxyQ当0x时，显然。（10分）