教学优质课件：第二章 平面向量应用举例

不奋苦而求速效，只落得少日浮夸，老来窘隘而已。——郑板桥§7向量应用举例平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结.向量在平面几何中的应用例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？ABDCABCD特殊化)(22222ADABDBAC探索：中，该关系是否依然成立？ABCD一般化ab22222ADABDBAC即证例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB,解：设，则baDBbaACaDAbBC;,,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设其它线段对应向量用它们表示。bADaAB,)(2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa∴222222BDACDACDBCAB【例2】如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.【思维导图】选基底AB→，AD→或建系→证明AF→·DE→＝0→从而证得AF⊥DE【证明】方法一：设AD→＝a，AB→＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又DE→＝DA→＋AE→＝－a＋b2，AF→＝AB→＋BF→＝b＋a2，所以AF→·DE→＝(b＋a2)·(－a＋b2)＝－12a2－34a·b＋b22＝－12|a|2＋12|b|2＝0.故AF→⊥DE→，即AF⊥DE.方法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，AF→＝(2,1)，DE→＝(1，－2)．因为AF→·DE→＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF→⊥DE→，即AF⊥DE.思考1用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什么？几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化.（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：形到向量向量的运算向量和数到形1．用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：(1)几何法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．例2如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC解：设则,,,ABaADbARrACab由于与共线，故设ARAC(),rnabnR又因为共线，所以设EREB与12()ERmEBmab因为所以ARAEER1122()rbmab1122()()nabbmab因此ABCDEFRT102()()mnmanb即,ab由于向量不共0102nmmn线，1解得：n=m=3111333,,ARACTCACRTAC所以同理于是故AT=RT=TCABCDEFRT练习1、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。CBAC0CBAC解：设则，由此可得：bOCaAO,baCBbaAC,.ACCBabab2222baba022rr即，得∠ACB=90°0CBAC思考：能否用向量坐标形式证明？ab向量在物理中的应用例3一架飞机从A地向北偏西60o的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行。设C地恰好在A地的南偏西60o，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.BADC60o60o西南东北分析要求飞机从B地到C地的位移，需要解决两个问题：⑴利用解三角形的知识求线段BC的长度⑵求BC与基线的夹角.60km60km601000km130902360km2oooooo解：设在东西基线和南北基线的交点处.依题意，的方向是北偏西，；的方向是南偏西，.所以　过点作东西基线的垂线，交于，则为正三角形.所以，.所以.=2000,AABABACACBAC.BACDABDBDCDCBDBCDBDAABCBCACsinΔ3km303kmo=1000.答：飞机从地到地位移大小是1000，方向是南偏西的BCB.C例4：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：F2θF1FG用向量F1，F2，表示两个提力，它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示，F1，F2的夹角为θ，如右图所示，只要分清F，G和θ三者的关系，就得到了问题得数学解释！θF1FGF2cos2θ探究：（1）θ为何值时，最小，最小值是多少？F1（2）能等于吗？为什么？F1GF1解：不妨设=，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道：=（*）通过上面的式子，有：当θ由0º到180º逐渐变大时，由0º到90º逐渐变大，的值由大逐渐变小，因此：由小逐渐变大，即F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力！F2F1Gcos2θ2θcos2θ2F1答：在（*）式中，当θ=0º时，最大，最小且等于cos2θF1G2答：在（*）中，当=即θ=120º时，=cos2θ12F1GF2小结：（1）、为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！（2）、由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！（3）、用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。300分析本题是向量在物理学中“力学问题”上应用的例子，可以清楚地看出向量的直接作用，根据向量数量积的几何意义，可知对物体所做的功即是表示力的向量和表示位移的向量的数量积.例4已知力与水平方向的夹角为300（斜向上），大小为50N，一个质量为8kg的木块受力的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20m.问力和摩擦力所做的功分别为多少？（g=10m/s2）FFFfF1F2FfGo所以，摩擦力的大小为因此答　　和所做的功分别是500和-22ffGF..N.fsfscos.J.FfJJ.180250021118011201223113502050032150252oo设木块的位移为，则cos30将力分解，它的铅垂线方向上的分力的大小为sin30解：sFsFsJ.FFFFN,技巧点拨：1.将物理中的矢量用向量表示，2.找出向量与向量的夹角，3.利用向量的数量积计算功.12500102例5一条河的两岸平行，河宽，一艘船从出发航行到河的正对岸处.航行的速度，水流的速度，问行驶航程最短时，所用的时间是多少？.dmABvkm/hvkm/hvv2v1AB如图，已知，，，求vvvvkmhvkmhvvt1212210/,2/.思路分析20由已知条件得:解：vvvvvkmh2212||||||96(/),所以dtv0.5603.1(min).||96技巧点拨：1.计算速度的合速度，2.计算时间必须使速度的方向和位移的方向一致.若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则对△ABC的形状最准确的描述为()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：因为OB→＋OC→－2OA→＝OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，于是|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，所以|AB→＋AC→|2＝|AB→－AC→|2，即AB→·AC→＝0，从而AB⊥AC.故选B.答案：B