数字图象处理 第6章

第6章数学形态学及其应用6.1数学形态学概述6.2二值形态学图像处理6.3灰度形态学图像处理6.4形态学滤波及骨架抽取的MATLAB实现6.1数学形态学概述数学形态学是法国和德国的科学家在研究岩石结构时建立的一门学科(1964)。形态学的用途：获取物体拓扑和结构信息，它通过物体和结构元素相互作用的某些运算，得到物体更本质的形态。在图象处理中的应用：(1)利用形态学的基本运算，对图象进行观察和处理，从而达到改善图象质量的目的；(2)描述和定义图象的各种几何参数和特征，如面积、周长、连通度、颗粒度、骨架和方向性等。6.1.1数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。数学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集图像的信息，当探针在图像中不断移动时，便可考察图像各个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它具有完备的数学基础。6.1.2基本符号和定义在数字图像处理的数学形态学运算中，把一幅图像称为一个集合。（1）a属于A对于一幅图像A，如果点a在A的区域以内，那么就说a是A的元素，记为a∈A，否则，记作a∈A.1.集合论概念（2）B包含于A设有两幅图象B，A。对于B中所有的元素ai，都有ai∈A，则称B包含于A，记作ABABc两个图像集合A和B的公共点组成的集合称为两个集合的交集，为A∩B，即A∩B={a｜a∈A且a∈B}。两个集合A和B的所有元素组成的集合称为两个集合的并集，记为A∪B，即A∪B={a｜a∈A或a∈B}。（3）交集和并集设有一幅图象X，所有X区域以外的点构成的集合称为X的补集，记作Xc，显然，如果B∩X=Ф，则B在X的补集内。B（4）补集击中：设有两幅图象B，A，若存在这样一个点，它既是B的元素，又是A的元素，A∩B≠φ，则称B击中A，记作B↑A，2.击中与击不中击不中：设有两幅图象B，A，若不存在任何一个点，它即是B的元素，又是A的元素，即B和A的交集是空，则称B不击中A，记作B∩A=Ф平移：设A是一幅数字图像，b是一个点，对A中的每个点a，将其坐标值与点b的坐标值相加，得到一个新的点，记为a+b，所有这些新点所构成的图像就是A被b平移的结果，记为A+b，即：A＋b＝{a＋b|a∈A}，3.平移和对称集对称集：设有一幅图象B，将B中所有元素的坐标取反，即令(x，y)变成(-x，-y)，所有这些点构成的新的集合称为B的对称集，记作Bv。设有两幅图象B，A，若A是被处理的对象，而B是用来处理A的，则称B为结构元素，又被形象地称做刷子。结构元素通常都是一些比较小的图象。4.结构元素对每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的参考点。原点可以包含在结构元素中，也可以不包含在结构元素中。SO(1)S+xX(2)S+xXC(3)S+x∩X与S+x∩XC均不为空xS＋x1S＋x2S＋x3对一个给定的目标图像X和一个结构元素S，将S在图像上移动。在每一个当前位置x，S+x只有三种可能的状态：6.2二值形态学二值形态学中的运算对象是集合。设A为图像集合，S为结构元素，数学形态学运算是用S对A进行操作。腐蚀可以用集合的方式定义，即X用S腐蚀的结果：S被x平移后在X中的所有x的集合。}|{XxSxSX腐蚀是最基本的一种数学形态学运算。6.2.1腐蚀对于阴影区域内任意一个点a，将结构元素B平移a后得到的Ba包含于X，所以阴影区域就是X被B腐蚀的结果。阴影部分包含在X的范围之内，比X小，就象X被腐蚀掉一层得到的，这就是为什么叫腐蚀的原因。腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。二值图像的腐蚀：定义：将结构元素B平移a后得到Ba，若Ba击中X，所有满足这个条件的a点组成的集合称做X被B膨胀的结果。用集合语言定义为：XS={x|S+x∪X≠}6.2.2膨胀对于阴影区域内的任意一个点a，Ba击中X，所以阴影区域就是X被B膨胀的结果。膨胀结果包含X，就象将X膨胀了一圈得到的，这就是为什么叫膨胀的原因。二值图像的膨胀：即用S膨胀X等同于：用S1先膨胀，再用S2膨胀前面的结果。称S能够分解成S1和S2两个结构元素。12SSS1212()()XSXSSXSS6.2.3结构元素的分解CSACSA)()(膨胀满足结合律，即：假设一个结构元素可以表示为两个结构元素的膨胀，即则1111111111111111111111111可分解成：一个值为l的5元素行矩阵、一个值为l的五元素列矩阵。1111111111考虑一个结构元素:大小为5X5,其元素为1计算膨胀所需要的时间正比于结构元素中的非零像素的个数，原始结构元素中元素个数为25，分解后做元素个数只有10个，所以速度要快2.5倍。膨胀运算等同于先用行结构元素膨胀，再用列结构元素膨胀。先腐蚀、后膨胀称为开运算。用图像S对图像X作开运算的定义为：SSXSX)(O6.2.4开运算与闭运算1.开运算使用圆盘结构元素进行开运算：使用圆盘结构元素进行开运算，使矩形内角变圆。若结构元素为小正方形，开运算结果和原图相同。二值图像的开运算：闭运算的作用：消除孤立的小点、小桥、毛刺。使用圆盘结构元素时，开运算对边界进行了平滑，去掉了凸角。使用线段结构元素时，沿线段方向宽度较大的部分被保留下来，较小的凸部被剔除不同结构元素提取不同特征：关于开运算的几点结论：（１）开运算能够除去孤立的小点，毛刺和小桥，而总的位置和形状不便。（２）开运算是一个基于几何运算的滤波器，消除图像的凸角。（３）结构元素大小的不同将导致滤波效果的不同。（４）不同的结构元素的选择导致了不同的分割，即提取出不同的特征。6.2.5闭运算先膨胀后腐蚀称为闭运算S对图像X作闭运算定义为：SSXSX)(闭运算的作用：闭运算能够填平弥合小裂缝，小湖（小孔），而总的位置和形状不变。闭运算通过填充图像的凹角关于闭运算的几点结论：（1）闭运算能够填平小湖（即小孔），弥合小裂缝，而总的位置和形状不变。（2）闭运算是通过填充图像的凹角来滤波图像的。（3）结构元素大小的不同将导致滤波效果的不同。（4）不同结构元素的选择导致了不同的分割。开运算示例：原始集合结构元素腐蚀运算过程腐蚀运算结果膨胀运算过程膨胀运算结果闭运算示例：原始集合结构元素膨胀运算过程膨胀运算结果腐蚀运算过程腐蚀运算结果由于开、闭运算是在腐蚀和膨胀运算的基础上定义的，根据腐蚀和膨胀运算的代数性质，1）对偶性(XC○S)C=X●S，(XC●S)C=X○S2）扩展性（收缩性）X○SXX●S即开运算使原图像缩小，而闭运算使原图像扩大6.2.6开闭运算的代数性质3）单调性如果XY，X●SY●S，X○SY○S4）平移不变性(X+h)●S=(X●S)+h，(X+h)○S=(X○S)+hX●(S+h)=X●S，X○(S+h)=X○S5）等幂性(X●S)●S=X●S，(X○S)○S=X○S开、闭运算的等幂性意味着一次滤波就能把所有特定结构元素的噪声滤除干净，作重复的运算不会再有效果。这是一个与经典方法(例如中值滤波、线性卷积)不同的性质。6.3灰值形态学6.3.1腐蚀与膨胀1灰度腐蚀用结构元素b对输入图像f(x,y)进行灰值腐蚀记为fS，其定义为式中，Df和Db分别是f和b的定义域。这里限制(t+x)和(m+y)在f的定义域之内，类似于二值腐蚀定义中要求结构元素完全包括在被腐蚀集合中。()(,)min{(,)(,)|,,}fsfstmftxmysxytxmyDxyD其效果相当于半圆形结构元素在被腐蚀函数的下面“滑动”时，其圆心画出的轨迹。但是，这里存在一个限制条件，即结构元素必须在函数曲线的下面平移。从图中不难看出，半圆形结构元素从函数的下面对函数产生滤波作用，这与圆盘从内部对二值图像滤波的情况是相似的。采用了一个扁平结构元素对上图的函数作灰值腐蚀。扁平结构元素是一种在其定义域上取常数的结构元素。注意这种结构元素产生的滤波效果。6.3.2用结构元素S(x,y)对输入图像进行灰值膨胀记为fs，其定义为式中，Df和Db分别是f和S的定义域。这里限制(t-x)和(m-y)在f的定义域之内，类似于在二值膨胀定义中要求两个运算集合至少有一个（非零）元素相交。()(,)max{(,)(,)|,,}fsfstmftxmysxytxmyDxyD灰度膨胀可以通过将结构元素的原点平移到与信号重合，然后，对信号上的每一点求结构元素的最大值得到.6.3.2开运算与闭运算灰度开运算用结构元素S(灰值图像)对灰值图像f做开运算记为f○S，其f○S=（fS）S灰值闭运算用结构元素S(灰值图像)对灰值图像f做闭运算记为f●S，其定义为f●S=（fS）S开运算可看作将b贴着f的下沿从一端滚到另一端。对所有比b的直径小的山峰其高度和尖锐度都减弱了。开运算操作消除与结构元素相比尺寸较小的亮细节，而保持图像整体灰度值和大的亮区域基本不受影响。腐蚀去除了小的亮细节并同时减弱了图像亮度，膨胀增加了图像亮度，但又不重新引入前面去除的细节。闭运算可看作将b贴着f的上沿从一端滚到另一端。所有比b的直径小的山谷得到了“填充”。闭运算操作消除与结构元素相比尺寸较小的暗细节，而保持图像整体灰度值和大的暗区域基本不受影响；膨胀去除了小的暗细节并同时增强了图像亮度，腐蚀减弱了图像亮度但又不重新引入前面去除的细6.3.3形态学重构形状重构是图像形态处理的重要操作之一，通常用来强调图像中与掩模图像指定对象相一致的部分，同时忽略图像中的其他对象。形态学重构是根据一幅图像(称之为掩模图像mask)的特征对另一幅图像(称之为标记图像marker)进行重复膨胀，重点是要选择一个合适的标记图像，使膨胀所得的结果能够强调掩模图像中的主要对象。每一次膨胀处理从标记图像的峰值点开始，整个膨胀过程将一直重复，直到图像的像素值不再变化为止。形态重构操作具有这样一些独有的特性：形态重构处理是基于两幅图像的，一个是标记图像，另一个是掩模图像，而不仅仅是一幅图像和一个结构元素；重构将一直重复直至图像稳定(即图像不再变化)；形态重构是基于连通性概念的，而不是基于结构元素的。若g是掩模，f为标记，则从f重构g可以记为，它有下面的迭代过程定义：1.将初始化为标记图像。2.创建结构元素。3.重复直到标记必须是g的一个子集，即。()gRf1hfS1()kkhhsg1kkhhffg6.4形态学的应用前面已经介绍了二值形态学和灰值形态学的基本运算—腐蚀，膨胀，开和闭运算及其一些性质，通过对它们的组合可以得到一系列二值形态学和灰值形态学的实用算法。灰值形态学的主要算法有灰值形态学梯度，形态学平滑，纹理分割等。本节主要介绍形态学滤波，骨架抽取等重要算法。通过本节的讨论，可以从几何角度理解形态学的一些非常实用的技术。不过，应该注意到，在实际应用形态学方法时，通常需要对输入图像做预处理，以便适合于使用这些算法。同时对输出图像可能还要做一些处理，以便产生满意的结果。6.4.1形态学滤波由于开、闭运算所处理的信息分别与图像的凸、凹处相关，因此，它们本身都是单边算子，可以利用开、闭运算去除图像的噪声、恢复图像，也可交替使用开、闭运算以达到双边滤波目的。一般，可以将开、闭运算结合起来构成形态学噪声滤波器，例如(X○S)●S或(X●S)○S等。整个过程是先做开运算再做闭运算，可以写为SSXSSSSX)(}]){[(●可看出目标区域内外的噪声都消除掉了，而目标本身除原来的4个直角变为圆角外没有太大的变化。在利用开、闭运算滤除图像的噪声时，选择圆形结构元素会得到较好的结果。为了能使从噪声污染的图像X中恢复原始图像X0的结果达到最优，在确定结构元素的半径时，可以采用优化方法。6.4.21.细化就是从原来的图中去掉一些点，但仍要保持原来的形状。实际上，是保持原图的骨架。)(BXXBX即XB为X与XB的差集。更一般地，利用