函数的最大最小值与导数极值

函数的最大值与最小值一、复习引入①如果在x0附近的左侧f/（x）0,右侧f/(x)0,那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧f/(x)0,右侧f/(x)0,那么,f(x0)是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要不充分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到.3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.1.当函数f(x)在x0处可导时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——•如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；•如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；一是利用函数性质二是利用不等式三今天学习利用导数求函数最值的一般方法：函数最值问题二、新课—最大值与最小值xX2oaX3bx1y观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象，你能找出函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？(2)(和端点比较)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.f(x)在闭区间[a,b]上的最值：(1)(找极值点)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)表格法(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值)例1求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最值。故函数f(x)在区间[-1，4]内的最大值为8，最小值为-1.解:f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x-1（-1，2）2（2，4）4y，0y-+83-1例1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最大值和最小值另解:将二次函数f(x)=x2-4x+3配方，利用二次函数单调性处理一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);②:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。1．下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能课堂练习DA3.函数，在［－1，1］上的最小值为()A.0B.－2C.－1D.432111432yxxx1312A求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。4,2,71862)()1(23xxxxxf练习最大值f(－1)=3，最小值f(3)=－61解:.cos21)(xxf当x变化时,的变化情况如下表:yy,从上表可知,最大值是∏,最小值是0..]2,0[sin21y2上的最大值与最小值在区间、求函数xx令,解得0)(xf.34,3221xxx0f(x))(xf)32,0()34,32(3234)2,34(2+-+0002332332的取值范围。三个交点，求函数的图像有相异与、直线axxxfay3)()3(3。的图像有三个相异交点与时，所以当是极小值是极大值，，可得单调区间和极值点及由解：xxyayaffxfxfxxxxf3222)1(2)1(0)(0)()1)(1(333)(32解：23)(2/xxxf，由0)(/xf得0232xx，即32x或1x；由0)(/xf得0232xx即132x，所以函数单调增区间是)32,(，),1(；函数的单调减区间是)1,32(。由mxf)(恒成立，的取值范围。恒成立，求实数时，，当、设mmxfxxxxxf0)(]2,2[5221)(423m大于)(xf的最大值。当[2,2]x时，(1)当2[2,]3x时，)(xf为增函数，所以27157)32()(maxfxf；(2)当]1,32[x时，)(xf为减函数，所以27157)32()(maxfxf；(3)当]2,1[x时，)(xf为增函数，所以7)2()(maxfxf；因为271577，从而7m