函数的极值与导数习题课2

跟踪训练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．解:f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，可知f(x)在(－1,1)上为减函数，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k0或－4＋k0(如图所示)或即k－4或k4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．例1,已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值．[分析]本题的关键是理解“f(x)在x＝±1处的极大值为4，极小值为0”的含义．即x＝±1是方程f′(x)＝0的两个根且在根x＝±1处f′(x)取值左右异号．[解析]f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)(1)当a＞0时，x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)y′＋0－0－0＋y极大值无极值极小值[点评]紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译、转化是解决这类问题的关键．由表可知：4＝f(－1)＝－a＋b＋c0＝f(1)＝a－b＋c又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.(2)当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.[例2]求函数f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a0)[解析]由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：①当0a1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；②当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；③当1a3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；④当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得：当0a1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．[点评]判断函数极值点的注意事项:(1)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间(a，b)上的单调函数没有极值．(2)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时，若方程f′(x)＝0的实数根较多时，应注意使用表格，使极值点的确定一目了然．(3)极值情况较复杂时，注意分类讨论．例3：设a0，求函数y＝x2＋ax(x1)的单调区间，并且如果有极值时，求出极值．[解析]∵y＝x2＋ax，∴y′＝2x－ax2＝1x2(2x3－a)．令y′＝0，得x＝3a2.a(0,2〕(2，＋∞)x(1，＋∞)1，3a23a23a2，＋∞y′＋－0＋yy极小值＝3a24＋32a2因此，函数在(1，＋∞)内的单调区间以及是否有极值均与a有关系，要视x＝与1的大小关系而定.综上可知，(1)若0a≤2，则函数在(1，＋∞)上单调递增，无极值．(2)若a2，则函数在1，3a2上递减，在3a2，＋∞上递增，在x＝3a2处取得极小值，即函数的极小值为y＝3a24＋32a2.(1)当cosθ＝0时，判断函数f(x)是否有极值；(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a－1，a)内都是增函数，求实数a的取值范围．[例4]已知函数f(x)＝4x3－3x2cosθ＋132，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤π2.[分析]f(x)是否有极值，需研究是否存在x0点，使f′(x0)＝0且在x0左、右f′(x)的符号相反；求参变量范围注意其他条件．[解析](1)当cosθ＝0时，f(x)＝4x3＋132，则函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，故无极值．(2)f′(x)＝12x2－6xcosθ，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝cosθ2.由0≤θ≤π2及(1)，只考虑cosθ0的情况．当x变化时，f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)00，cosθ2cosθ2cosθ2，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值因此，函数f(x)在x＝cosθ2处取得极小值fcosθ2，且fcosθ2＝－14cos3θ＋132.要使fcosθ20，必有－14cos3θ＋1320，可得0cosθ12，所以π3θπ2.(3)由(2)知，函数f(x)在区间(－∞，0)与cosθ2，＋∞内都是增函数．由题设，函数f(x)在(2a－1，a)内是增函数，则a须满足不等式组由(2)，参数θ∈π3，π2时，0cosθ12.要使不等式2a－1≥12cosθ关于参数θ恒成立，必有2a－1≥14.综上，解得a≤0或58≤a1.所以a的取值范围是(－∞，0]∪58，1.例5、已知函数21()kxfxxc(0c且1c,kR)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是xc(1)求函数()fx的另一个极值点；(2)求函数()fx的极大值M和极小值m,并求1Mm≥时k的范围．解：(1)222222()2(1)2()()()kxcxkxkxxckfxxcxc，由题意知()0fc，即得220ckcck(*)0c,0k．由()0fx得220kxxck，由韦达定理知另一个极值点为1x(或2xck)（2）由（*）式得21kc，即21ck．当1c时，0k；当01c时，2k．（i）当0k时，()fx在()c，和(1)，内是减函数，在(1)c，内是增函数．1(1)012kkMfc，221()02(2)kckmfccck，由2122(2)kkMmk≥及0k，解得2k≥．-c1（ii）当2k时，()fx在()c，和(1)，内是增函数，在(1)c，内是减函数.2()02(2)kMfck,(1)02kmf22(1)1112(2)22kkkMmkk≥恒成立．综上可知,所求k的取值范围为(2)[2)，，-c1