函数的极限与连续

1第一章函数的极限与连续极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限.因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件.本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念.§1-1函数一、函数的概念定义1.1设有一非空实数集D，如果存在一个对应法则f，使得对于每一个Dx，都有一个惟一的实数y与之对应，则称对应法则f是定义在D上的一个函数.记作y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，习惯上称y是x的函数，D称为定义域.当自变量x取定义域D内的某一定值0x时，按对应法则f所得的对应值y0，称为函数y=f(x)在x=x0时的函数值，记作f(x0)，即y0=f(x0).当自变量x取遍D中的数，所有对应的函数值y构成的集合称为函数的值域，记作M，即DxxfyyM),(例1已知1)(2xxxf，求)0(f，)1(f，)(xf解1100)0(2f1111)1(2f11)()()(22xxxxxf例2求下列函数的定义域.（1）142xy(2))1ln(62xxxy解（1）1,012xx，所以定义域为),1()1,1()1,(x（2）01062xxx132xx，所以定义域为3,1x由函数定义可知，定义域与对应法则一旦确定，则函数随之惟一确定.因此，我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素.如果两个函数的定义域、对应法则均相同，那么可以认为这两个函数是同一函数.反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数.例如：xxxf22cossin)(与1)(x,因为1cossin22xx,即这两个函数的对应法则相同，而且定义域均为R，所以它们是相同的函数.又如11)(2xxxf与1)(xx，虽然112xx1x，但由于这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数.通常函数可以用三种不同的形式来表示：表格法、图形法和解析法（或称公式法）.三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用.二、函数的性质1、单调性设函数)(xfy在（ba,）内有定义，若对（ba,）内的任意两点21,xx，当21xx时，有)()(21xfxf，则称)(xfy在（ba,）内单调增加；若当21xx时，有)()(21xfxf，则称)(xf在（ba,）内单调减少，区间（ba,）称为单调区间.2、奇偶性2设函数)(xfy在D上有定义，若对于任意的Dx，都有)()(xfxf，则称)(xfy为偶函数；若有)()(xfxf，则称)(xfy为奇函数.在直角坐标系中，奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称，且偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.3、有界性若存在一个正数M，使得对任意的),(bax，恒有Mxf)(，则称函数y=f(x)在（ba,）内有界.如y=sinx与y=cosx都在（,）内有界.4、周期性设函数)(xfy在D上有定义，若存在一个正实数T，对于任意的Dx，恒有)()(xfTxf，则称)(xf是以T为周期的周期函数.通常所说的周期函数的周期，是指它们的最小正周期.如xysin的周期是2，xytan的周期是，)sin(wxAy的周期是w2.函数cy,（c为常数）是周期函数,但不存在最小正周期,此类函数称为平凡周期函数.三、反函数定义1.2设函数)(xfy，其定义域为D，值域为M.如果对于每一个My，有惟一的一个Dx与之对应，并使)(xfy成立，则得到一个以y为自变量，x为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作)(1yfx显然，)(1yfx的定义域为M，值域为D.由于习惯上自变量用x表示，因变量用y表示，所以)(xfy的反函数可表示为)(1xfy例如xy的反函数是2xy)0(x，其定义域就是xy的值域,0，值域是xy的定义域,0，如图1-1（a）所示.在同一直角坐标系中，函数y=f(x)和其反函数)(1xfy的图象关于直线xy对称.如图1-1（b）所示.图1—1四、初等函数1、基本初等函数下列六种函数统称为基本初等函数.（1）常数函数cy（c为常数），其图形为一条平行或重合于x轴的直线.（2）幂函数xy（为实数）,其在第一象限内的图形如图1-2所示.（a）（b）3图1-2（3）指数函数xay（1,0aa），定义域为R，值域为),0(，图形如图1-3)(a所示.图1-3（4）对数函数)1,0(logaaxya，定义域),0(，值域为R，图形如图1-3（b）所示.（5）三角函数xysin，xycos，xytan，xycot，xysec，xycsc.其中正弦函数xysin和余弦函数xycos的定义域都为R，值域都为1,1，正切函数xytan的定义域为ZkkxRxx,2,且，值域为R，这三个函数的图形如图1-4所示.图1-4（6）反三角函数xyarcsin，xyarccos，xyarctan，xarcycot，其中反正弦函数xyarcsin与反余弦函数xyarccos的定义域都为1,1，值域分别为22，和,0反正切函数y=arcanx的定义域R，值域为2,2，这三个函数的图形如图1-5所示.00（a）（b）ππ（a）（b）42、复合函数定义1.3设函数)(ufy的定义域为fD，函数)(xu的值域为M,若fDM，则将)(xfy称为)(ufy与)(xu复合而成的复合函数，u称为中间变量，x为自变量.如函数1,ln2xuuy，因为12xu的值域,1包含在uyln的定义域（0，+）内，所以)1ln(2xy是uyln与12xu复合而成的复合函数.注意：（1）并不是任何两个函数都可以复合的，如uyarcsin与22xu就不能复合.因为22xu的值域为,2，而uyarcsin的定义域为1,1，所以对于任意的x所对应的u，都使uyarcsin无意义；（2）复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合.例4指出下列函数的复合过程（1）312xy；（2）2tanlnxy.解（1）312xy是由3uy与12xu复合而成的；（2）2tanlnxy是有tan,lnuuy,2x复合而成的.例5已知f（x）的定义域为1,1，求f（lnx）的定义域.解由1ln1x得exe1所以)(lnxf的定义域为ee,1.3、初等函数定义1.4由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数.有些函数，在其定义域内，当自变量在不同范围内取值时，要用不同的解析式表示，这类函数称为分段函数，分段函数中有些是初等函数，有些是非初等函数.例6已知1100112)(xxxxxfx，求)2(f，)0(f，)21(f，)2(f，并作出函数图形解412)2(2xxf；12)0(0xxf；11oyyx图1-6ππππππ图1-5521)1()21(21xxf；11)2(2xf图形如图1-6所示五、建立函数关系举例运用函数解决实际问题，通常先要找到这个实际问题中的变量与变量之间的依赖关系，然后把变量间的这种依赖关系用数学解析式表达出来（即建立函数关系），最后进行分析、计算.例7如图1-7，从边长为a的正三角形铁皮上剪一个矩形，设矩形的一条边长为x，周长为P，面积为A，试分别将P和A表示为x的函数.解设矩形的另一条边长为060tan2xa=2)(3xa该矩形周长P=axxxa3)32(2)(3，),0(ax矩形面积223232)(3xaxxxaA，),0(ax.图1-7例8电力部门规定，居民每月用电不超过30度时，每度电按0.5元收费，当用电超过30度但不超过60度时，超过的部分每度按0.6元收费,当用电超过60度时,超过部分按每度0.8元收费,试建立居民月用电费G与月用电量W之间的函数关系.解当300w时，G=05W当6030W时,G=36.0)30(6.0305.0ww当60w时,G=158.0)60(8.0306.0305.0WW所示60158.0603036.03005.0)(、求下列函数的定义域（1）221xxy（2）232xxy（3）)1ln(2xy（4）xy2arcsin2、已知030102)(2xxxxxxf，求)1(f，)0(f，)1(f的值，并作出函数的图形.3、求下列函数的反函数（1）13xy（2）xyln1（3）11xxy4、判断下列函数的奇偶性（1）xxysin2（2）xxycossin（3）xxycos22（4）11xxeey.5、分析下列复合函数的结构，并指出它们的复合过程（1）12xy（2）xeysin（3）)1(cos2xy（4）)1sin(lgxy6、把一个直径为50厘米的圆木截成横截面为长方形的方木，若此长方形截面的一条边长x6厘米，截面面积为A平方厘米，试将A表示成x的函数，并指出其定义域.§1-2极限的概念一、数列的极限先看下面两个按一定次序排列的一列数（1）1，21，31，41……，n1,……（2）21，32，43，54……，1nn,……我们称它们为数列，分别记作n1，1nn.现在来考察n无限增大时，这两个数列的变化趋势.为清楚起见，我们把这两个数列的前n项：1x，2x……nx分别在数轴上表示出来（如图1-8，图1-9所示）.由图1-8可以看出，当n无限增大时，表示nxn1的点逐渐密集在点0x的右侧，且nxn1无限接近于0；由图1-9可以看出，当n无限增大时，表示1nnxn的点逐渐密集在点当1x的左侧，且1nnxn无限接近于1.上述两个数列具有相同的变化特征，即当n无限增大时，它们都无限接近于一个确定的常数.对于具有这样特征的数列，我们给出定义.定义1.5如果当n无限增大时，数列nx无限接近于一个确定的常数A，则把常数A称为数列nx的极限（也称数列nx收敛于A）记作Axnnlim或当n时，Axn因此，上述数列（1）有极限为0，记作01limnx；数列（2）有极限为1，记作11limnnx.例1观察下面数列的变化趋势，并写出它们的极限.（1）121nnx（2）nnxn1（3）nnx)3(1（4）4nx解（1）121nnx的项依次为1，21，41，81……，当n无限增大时，nx无限接近于0，所以121limnx=0；（2）nnxn1的项依次为2，23，34，45……，当n无限增大时，nx无限接近于1，所以图1-8图1-97nnx1lim=1；（3）nnx)3(1的项依次为31，91，271，811，……，当n无限增大时，nx无限接近于0，所以nx)3(1lim=0；（4）4nx为常数数列，无论n取怎样的正整数，nx始终为4，所以44limn.一般地，一个常数数列的极限等于这个常数本身，即ccnlim（c为常数）需要指出的是，并不是所有数列都有极限，如数列nnx2，当n无限增大时，nx也无限增大，不能无限接近于一个确定常数，所以它没有极限.又如数列nnx)1(，当n无限增大时，nx在-1和1这两个数上来回摆动，不能无限接近于一个确定常数，所以它也没