函数的概念及相关典型例题

函数的概念及相关典型例题一、知识点1、函数的定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数)(xf和它对应，那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数，记作BAf:，或)(xfy，xA。习惯上我们称y是x的函数。2、函数的三要素：、定义域：x取值的集合A叫做函数的定义域，也就是自变量x的取值范围；、对应关系（对应法则）：对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”，是连接x与y的纽带。、值域：就是函数值的集合，Axxf|)(。ABBAf:对应关系定义域A值域Axxf|)(3、常见函数的定义域和值域．一次函数baxxf)()0(a:定义域R,值域R;．反比例函xkxf)()0(k:定义域0|xx,值域0|yy;．二次函数cbxaxxf2)()0(a:定义域Rx)(xf值域：当0a时，abacyy44|2；当0a时，abacyy44|24、相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么我们就称这两个函数相等或称这两个函数为同一函数。（与表示自变量的字母无关，例如：12)(ttf与12)(xxf表示同一函数。）5、复合函数：如果函数y=)(tf的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当C=A时，称函数y=))((xgf为f与g在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫内函数，y=)(tf叫外函数。（内函数的值域等于外函数的定义域）6、区间。定义名称符号数轴表示{x|axb}闭区间[a，b]{x|axb}开区间(a，b){x|axb}左闭右开区间[a，b）{x|axb}左开右闭区间(a，b]这样实数集R也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.还可把满足xa，xa，xb，xb，R的实数x的集合分别表示为[a，+)，（a，+）,(-,b],(-,b),(-，+）。二、典型例题（一）、判断变量间的关系。1、函数关系多对一非函数关系：一对多一对一2、根据图形判断对应关系是否为函数关系的方法。作垂直于x轴直线l→在定义域内移动l→只有一个交点的是函数关系，有两个或两个以上交点的不是函数关系。3、判断一个对应关系是否为函数的方法。判断A、B是否为非空数集→判断A中任一元素在B中的是否有元素与之对应→判断A中任一元素在B中的对应关系是否是唯一确定的。（二）求函数的定义域1、求给出解析式的函数的定义域（求使解析式各部分都有意义的自变量的取值范围）①分式中分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负；③x0中，x≠0；④整式部分自变量的取值范围为R.2、求抽象函数的定义域。①已知的定义域是［a，b］，求的定义域。解，即为所求的定义域。②已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域。方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。③已知f(g(x))定义域［a，b］，求f(h(x))的定义域。用题型②的方法根据y=f(g(x))定义域求y=f(x)的定义域，用题型①的方法根据y=f(x)的定义域求y=f(h(x))的定义域。（注：在同一法则f下，与f(h(x))中g(x)与h(x)的范围是相同的。）④已知()fx的定义域，求四则运算型函数的定义域。若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。例：若()fx的定义域为35，，求()()(25)xfxfx的定义域．解：由()fx的定义域为35，，则()x必有353255xx，，≤≤≤≤解得40x≤≤．所以函数()x的定义域为40，．练习：已知函数定义域是，求的定义域。分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。解：由已知，有，即函数的定义域由确（比较两个区间左右端点，取交集）函数的定义域是3、求实际问题中的函数的定义域。①满足解析式；②实际意义对自变量的限制（处理几何图形的周长、面积、体积等问题时，切记各线段的长度均为正数。）4、函数定义域的逆向思维（已知所给函数的定义域，求解析式中参数的取值范围。）解法：当二次函数的二次项系数不确定时，需要对其是否为0进行分类讨论；运用转化思想，把函数定义域问题转化成恒成立问题。例1、已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。例2、已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即无实数①当k≠0时，恒成立，解得；②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。综上k的取值范围是。（三）求函数值1、已知函数的解析式求值。方法：将自变量的值直接代入求解。（求f(g(x))时，一般遵循先内后外的原则.）2、抽象函数求值。赋值法：根据条件和结论对变量赋一个特殊的值。思路：从条件中自变量的极端值开始取值、计算出对应的函数值，再结合条件逐步深入，最后使问题获解。3、与求值有关的含参问题。方法：利用方程思想求解.（四）求函数的值域。1.直接观察法方法：①、利用熟悉的函数的值域；②、利用图像的最高点和最低点。例1.求函数的值域。解：∵∴显然函数的值域是：2.配方法对于二次函数型的解析式，通过配方含有自变量的平方式与常数的和，然后根据自变量的取值范围确定函数的值域。例2.求函数的值域。解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，故函数的值域是：[4，8]3.判别式法此法常用于求分子或分母的最高次数为二次的分式型函数的值域，求解时把函数看成是一个关于自变量的二次方程，根据原函数的定义域为非空数集，可知此方程有解，即Δ≥0，从而求出原函数的值域。例3.求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（y-1)2x-x+(y-1)=0（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为4、分离常数法就是把函数式分子中含x的项分离掉，即分子中不含x项（在分子中写出一个和分母一样的式子，然后变形），此法常用于求形如y=baxdcx(a0)的函数的值域.。例4.求函数yxx43的值域解：yxx43=xx47)4（=-1+x47x4701y此函数值的值域为1|yy5、反解法（反函数法）形如y=baxdcx(a0)的函数的值域，也可使用反解法。例5.求函数y值域。解：由原函数式可得：53y故所求函数的值域为：53|yy6、换元法其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.例6.求函数的值域。解：令1xt，则∵又，由二次函数的性质可知当时，当0t时，0y故函数的值域为7、函数的有界性法此法将函数变形成一边为某个有界函数，另一边为含y的代数式的形式，再利用函数的有界性构造关于y的不等式求解。例7.求函数1122xxy的值域解：由函数的解析式可知，函数的定义域为R，对函数进行变形可得：)1()12yxy（因为1y，所以2x=)1(11yRxyy，，所以011yy，所以11y所以函数1122xxy的值域为11|yy8、数形结合法根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域9、函数的单调性法①如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（五）函数值域的逆向思维求函数值域的逆向问题，主要利用已知函数的值域，求出满足条件的参数的值。解法：1、数形结合思想.根据解析式画出图像，结合已知条件，利用数形结合思想。2、分式型函数：把所求值域问题和一元二次方程根与系数的关系联系起来求参数。（六）函数思想的应用。例：设a,b,cR,且它们的绝对值都不大于1，求证：ab+bc+ca+10证明：设1cabcabaf，当b+c=0时，10bcf，显然00f当b+c0时，af是关于a的一次函数，因为a,b,c[-1,1],所以0)1)(11()1(11cbccbcbcbf（）0)1)(1(1)1(11cbccbcbcbf所以af在[-1,1]上的值恒为非负数所以ab+bc+ca+10（解法：运用函数思想构造函数，由函数的性质使问题得以解决。）