函数的连续性和间断点

函数的连续性一、函数连续的定义如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)，那么称函数f(x)在点x0连续。如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果lim𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)，那么称函数f(x)在点x0左连续。如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果lim𝑥→𝑥0+𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)，那么称函数f(x)在点x0右连续。如果lim𝑥→𝑥0+𝑓(𝑥)=lim𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)，则函数f(x)在点x0连续。如果函数f(x)在点x0连续，则lim𝑥→𝑥0+𝑓(𝑥)=lim𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)。二、函数的间断点：函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数f(x)有下列三种情形之一，则称x0是函数f(x)的间断点。（1）.在x0处无定义；（2）.在x0处有定义，但lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)在x0处的极限不存在；（3）.在x0处有定义，而且lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)在x0处的极限也存在，但lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)≠𝑓(𝑥0)；间断点可分为两类，即第一类间断点和第二类间断点。如果函数的左极限和右极限都存在，则称为第一类间断点。如果左右极限至少有一个不存在，则称为第二类间断点。如果左右极限都存在且相等，则该间断点称为可去间断点，可去间断点很显然是第一类间断点。如果函数在x0处的极限值为∞，则点x0称为无穷间断点。至于震荡间断点和跳跃间断点，可以很容易根据函数图像的特征加以判别。历年真题1、函数𝑓(𝑥)=|𝑥|𝑥−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛|𝑥|的可去间断点的个数为(𝐴)0(𝐵)1(𝐶)2(𝐷)3(2013，数三，4分)【解析】函数𝑓(𝑥)=|𝑥|𝑥−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛|𝑥|在𝑥=−1,0,1处没定义，lim𝑥→−1𝑓(𝑥)=lim𝑥→−1|𝑥|𝑥−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛|𝑥|=lim𝑥→−1𝑒𝑥𝑙𝑛|𝑥|−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛|𝑥|=lim𝑥→−1𝑥𝑙𝑛|𝑥|𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛|𝑥|=lim𝑥→−11(𝑥+1)=∞lim𝑥→0𝑓(𝑥)=lim𝑥→0|𝑥|𝑥−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛|𝑥|=lim𝑥→0𝑒𝑥𝑙𝑛|𝑥|−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛|𝑥|=lim𝑥→0𝑥𝑙𝑛|𝑥|𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛|𝑥|=lim𝑥→01(𝑥+1)=1lim𝑥→1𝑓(𝑥)=lim𝑥→1|𝑥|𝑥−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛|𝑥|=lim𝑥→1𝑒𝑥𝑙𝑛|𝑥|−1𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛|𝑥|=lim𝑥→1𝑥𝑙𝑛|𝑥|𝑥(𝑥+1)𝑙𝑛|𝑥|=lim𝑥→11(𝑥+1)=12所以𝑥=0和𝑥=1为可去间断点。所以答案为（C)。2、设函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛|𝑥||𝑥−1|𝑠𝑖𝑛𝑥，则𝑓(𝑥)有(𝐴)1个可去间断点，1个跳跃间断点(𝐵)1个可去间断点，1个无穷间断点(𝐶)两个跳跃间断点(𝐷)两个无穷间断点(2008，数二，4分)【解析】不难看出𝑓(𝑥)有两个间断点𝑥=0和𝑥=1。lim𝑥→0𝑓(𝑥)=lim𝑥→0𝑙𝑛|𝑥||𝑥−1|𝑠𝑖𝑛𝑥=lim𝑥→0𝑙𝑛|𝑥|𝑠𝑖𝑛𝑥=lim𝑥→0𝑙𝑛|𝑥|𝑥=lim𝑥→0𝑙𝑛|𝑥|1𝑥=−lim1x1x2𝑥→0=−lim𝑥→0𝑥=0所以𝑥=0是可去间断点。lim𝑥→1+𝑓(𝑥)=lim𝑥→1+𝑙𝑛|𝑥||𝑥−1|𝑠𝑖𝑛𝑥=lim𝑥→1+𝑠𝑖𝑛1ln⁡[1+(𝑥−1)]𝑥−1=lim𝑥→1+𝑠𝑖𝑛1𝑥−1𝑥−1=𝑠𝑖𝑛1lim𝑥→1−𝑓(𝑥)=lim𝑥→1−𝑙𝑛|𝑥||𝑥−1|𝑠𝑖𝑛𝑥=lim𝑥→1−𝑠𝑖𝑛1ln⁡[1+(𝑥−1)]1−𝑥=lim𝑥→1−𝑠𝑖𝑛1𝑥−11−𝑥=−𝑠𝑖𝑛1所以𝑥=1是跳跃间断点。综上，正确答案是（A）。3、求limt→x(sintsinx)xsint−sinx，记此极限为f(x)，求f(x)的间断点并指出其类型(2001，数二，7分)【解析】limt→x(sintsinx)xsint−sinx为1∞型。limt→x(sintsinx)xsint−sinx=limt→x𝑒xsint−sinxlnsintsinx=limt→x𝑒xsint−sinxln⁡(1+sint−sinxsinx)=limt→x𝑒xsint−sinxsint−sinxsinx=limt→xexsinx=exsinx𝑥=0和𝑥=𝑘𝜋(𝑘=±1,±2,⋯)都是𝑓(𝑥)的间断点。由于lim𝑥→0𝑓(𝑥)=limexsinx=e𝑥→0，所以𝑥=0是f(x)的可去间断点。而𝑥=𝑘𝜋(𝑘=±1,±2,⋯)处f(x)的极限存在单侧无穷大，所以𝑥=𝑘𝜋(𝑘=±1,±2,⋯)是𝑓(𝑥)的第二类间断点。4、设函数𝑓(𝑥)={ln⁡(1+𝑎𝑥3)𝑥−𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥06⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥=0𝑒𝑎𝑥+𝑥2−𝑎𝑥−1𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥4⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑥0，问𝑎为何值时，𝑓(𝑥)在𝑥=0处连续，𝑎为何值时，𝑥=0为𝑓(𝑥)的可去间断点？(2003，数二，10分)【解析】lim𝑥→0−𝑓(𝑥)=lim𝑥→0−ln⁡(1+𝑎𝑥3)𝑥−𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥=lim𝑥→0−𝑎𝑥3𝑥−𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥=lim𝑥→0−3𝑎𝑥31−1√1−𝑥2=lim𝑥→0−3𝑎𝑥3−12𝑥2=−6𝑎lim𝑥→0+𝑓(𝑥)=lim𝑥→0+𝑒𝑎𝑥+𝑥2−𝑎𝑥−1𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥4=4lim𝑥→0+𝑒𝑎𝑥+𝑥2−𝑎𝑥−1𝑥2=4lim𝑥→0+𝑎𝑒𝑎𝑥+2𝑥−𝑎2𝑥=4lim𝑥→0+𝑎2𝑒𝑎𝑥+22=2𝑎2+4令lim𝑥→0−𝑓(𝑥)=lim𝑥→0+𝑓(𝑥)得到−6𝑎=2𝑎2+4，求解得到𝑎=−1或𝑎=−2。当𝑎=−1时：lim𝑥→0−𝑓(𝑥)=lim𝑥→0+𝑓(𝑥)=𝑓(0)，即𝑓(𝑥)在𝑥=0处连续。当𝑎=−2时：lim𝑥→0−𝑓(𝑥)=lim𝑥→0+𝑓(𝑥)=12≠𝑓(0)，即𝑓(𝑥)在𝑥=0处不连续，𝑥=0是𝑓(𝑥)的可去间断点。