对面积的曲面积分

第四节对面积的曲面积分概念的引入对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的计算法第一类曲面积分对面积的曲面积分引例:设光滑曲面形构件有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质“大化小,近似代替,求和,求极限”的方法,量M.其中,表示n小块曲面的直径的(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).最大值),,(iii),,,(zyxiiiniiSM),,(lim10一、概念的引入对面积的曲面积分所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.1.定义iS(上为设点iiiiS),,(,),,(iiiiSf,),,(1iiiniiSf,0时iS函数f(x,y,z)在Σ上任意取定的点,并作和如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在,则的最大值①②③④对面积的曲面积分二、对面积的曲面积分的定义第i小块曲面的面积),作乘积设曲面Σ是光滑的,同时也表示有界.把Σ任意分成n小块xyOz),(:yxzz),,(iii),,(iiiSxyDxyi)(在),,(zyxf或.d),,(Szyxf记为即如曲面是曲面面积元素被积函数则积分号写成iiiniiSf),,(lim10Szyxfd),,(积分曲面iiiniiSf),,(1称极限为函数上在曲面对面积的曲面积分第一类曲面积分.闭曲面,对面积的曲面积分则及可分为分片光滑的曲面若,211d),,(SzyxfSzyxfd),,(2.对面积的曲面积分的性质2d),,(Szyxf3.对面积的曲面积分的几何意义表示空间曲面Σ的面积.SAd1时，当1),,(zyxf对面积的曲面积分表示以曲面Σ为顶,它在坐标面的投影为底的曲顶柱体的体积.4.对面积的曲面积分的物理意义表示面密度为连续函数;d),,(SzyxM的质量M:的光滑曲面),,(zyx对面积的曲面积分其质心坐标为:,d),,(1SzyxxMx,d),,(1SzyxyMy.d),,(1SzyxzMz],,[yxfSzyxfd),,(:若曲面则按照曲面的不同投影方向分为以下三类：思想是:化为二重积分计算.),(yxzyxzzyxdd122xyD),(yxzz(1)对面积的曲面积分三、对面积的曲面积分的计算法],,[zxfSzyxfd),,(则],,[zyfSzyxfd),,(：若曲面则xzDyzD),(zyxzyxxzydd122(2)(3)),(zyxx:若曲面),(zxyy),(zxyzxyyzxdd122对面积的曲面积分2、确定投影域并写出并算出曲面面积元素dS.3、将曲面方程代入被积函数,计算面积的曲面积分的解题步骤：1、应根据化为二曲面Σ选好投影面.曲面Σ的显函数形式,重积分进行计算.对面积的曲面积分xyzO例解yz5投影域:}25|),{(22yxyxDxy5,d)(zySzyx为平面其中计算2522yx被柱面所截得的部分.:曲面Szyxd)(xyDy52yxdd故)(yxxyDyxxdd)5(22125xyDyxdd52二重积分的对称性补充设分片光滑的Szyxfd),,(x的奇函数x的偶函数.d),,(21Szyxf.0),(:1zyxx其中,0则曲面Σ关于yOz面对称,为当),,(zyxf为当),,(zyxf对面积的曲面积分解依对称性知成立1422yxz||xyz.为偶函数、关于xy,d||Sxyz计算).10(22zyxz为抛物面其中例面均对称；面、关于yOzxOz抛物面有对面积的曲面积分被积函数1为第一卦限部分曲面.xyzOyxyxSdd)2()2(1d22Sxyzd41xy4极坐标12222004dcossin14drrrrrxyD)(22yxyxyxdd)2()2(122Sxyzd||投影域：}0,0,1|),{(22yxyxyxDxy2152002sin2d14drrruuud)41(4125142015125u对面积的曲面积分积分曲面22:(01)zxyz例所围成的空间立体的表面.,dSx计算,122yx是圆柱面其中02zxz及平面对面积的曲面积分zxyOzxyOzxyO解2dSx1231dSxDyxxdd0Dyxxdd1100z2xz122yx投影域1:22yxD对面积的曲面积分例所围成的空间立体的表面.,dSx计算,122yx是圆柱面其中02zxz及平面对称性zxyOzxyO(左右两片投影相同)zxyySzxdd1d22zxxdd112Sxd1:223yx将投影域选在面上xOz注21xy分成左、右两片3dSxSxd31Sxd32312x2xzDzxxdd112对面积的曲面积分zxxxdd122012x12xzSxd00对称性xzO11zxyO计算,d)(23Szyxx其中Σ为球面222yxaz之位于平面曲面Σ的方程Σ在xOy面上的投影域2222:hayxDxyΣ解222yxaz2222:hayxDxy)0(ahhz上方的部分.对面积的曲面积分zxyOΣ2222:hayxDxy因曲面Σ于是)(22haaSzd00222yxayxyxaadd222x3是x的奇函数，x2y是y的奇函数.Szyxxd)(23222yxazxyD关于yOz面及xOz面对称;对面积的曲面积分xyxyxz22222在柱体为锥面设.d,Sz求曲面积分内的部分解积分曲面22:yxzΣ在xOy面上的投影域xyxDxy2:2222yxz由2222yxyyzd2dS对面积的曲面积分,2222yxxxzzxyOSzdxyD22yxd22cos2022ddrrr2932322316积分曲面,:22yxzd2dSxyxDxy2:22对面积的曲面积分320162cosd3例,d2Sx求2222:azyx解积分曲面方程轮序对称Szyxd)(222SzyxSxd)(31d222231提示即三个变量轮换位置方程不变.Sxd22243aa具有轮换对称性,中的变量x、y、z3Sd2a对面积的曲面积分