讨论Jordan标准形及其过渡矩阵的求法

1讨论Jordan标准形及其过渡矩阵的求法摘要：本文较系统的总结了Jordan标准形及其过渡矩阵的通用的求法。关键字：Jordan标准形，特征向量，过渡矩阵一、求解Jordan标准形1、通过矩阵求Jordan标准形定义1：P是一个数域，是一个文字，作多项式环[]P。一个矩阵，若它的元素是的多项式，称其为矩阵，用(),(),AB表示。定义2：设矩阵()A的秩为r，对于正整数,1kkr，()A中必有非零的k级子式，()A中全部k级子式的首相系数为1的最大公因式()kD称为()A的k级行列式因子。定义3：矩阵的初等变换：(,)Pij、(())Pic、(,())Pij。若()A经过有限次初等变换变为()B，称()A与()B等价。在初等变换过程中，行列式因子是不变的，也就是说等价的矩阵具有相同的行列式因子。对任意一个非零的sn的矩阵()A进行有限次适当的初等变换总能将其化为以下形式的矩阵212()()()00rddd其中1,()(1,2,)irdir是首项系数为1的多项式，且1()()(1,2,1)iiddir。称其为()A的标准形。依据以上论述可以求得：121()()()()(),()(1,2,)()ikkiiDDddddirD，因此可以断定矩阵的标准形是唯一的。我们称标准形的主对角线上非零元素()id为()A的不变因子；将不变因子分解成为互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的按出现的次数计算）称为()A的初等因子。下面给出一个定理。定理2：,AB为数域P上n级矩阵，(),()AB分别为,AB的特征矩阵。以下命题等价：(1),AB相似(2)(),()AB等价(3)(),()AB有相同的行列式因子(4)(),()AB有相同的不变因子(5)(),()AB有相同的初等因子我们简称矩阵A的特征矩阵EA的三个因子（行列式因子、不变因子、初等因子）为A的三个因子。从定理2可以看出，三个因子都是矩阵的相似不变量，因此，我们可以将一个线性变换A的任一矩阵的因子定义为A的因子。从以上论述我们可以得到一个寻找相似矩阵最简形的方向：对于矩阵A，我们想办法找到一个形式比较简单的矩阵B，使得B和A有相同的因子（考虑计算方便的因素，我们选取初等因子），那么，,AB相似。先给出求矩阵A的初等因子的方法：通过初等变换，将EA化为对角形式，将主对3角线上的元素分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，这些一次因式的方幂就是A的全部初等因子。Jordan形矩阵的具体形式为：12SJJJJ，其中101(1,2,,)01iiiiiikkJis可以求得Jordan矩阵的全部初等因子是：1212(),(),,().skkks这样，对于任意n阶矩阵A求出其初等因子，就可以写出相应的具有相同初等因子（因此也是相似的）的Jordan形矩阵，在不考虑Jordan块排列次序的前提下，写出的Jordan矩阵是唯一确定的。这样就证明了定理1。至此，通过矩阵这个桥梁，已经完整的解决了怎样求一个矩阵的Jordan标准形的问题。可以看到，关键是找到了相似不变量——不变因子，从不变因子的角度，构造出了一个与原矩阵A相似的唯一的Jordan矩阵。下面，我们从线性空间V本身出发，通过恰当的直和分解来证明定理1。2、通过直和分解求Jordan标准形相似矩阵有相同的特征多项式，所以我们可以定义线性变换A的特征多项式。设线性变换A的特征多项式为1212()()()()srrrsf，12,,,s是()f的全部不同的根。可以证明，V可以分解成A子空间的直和12sVVVV，其中，()0,,(1,2,,)iriiVAEVis。记iiEBA，称iB是iV上的一个幂零线性变换，我们现在考虑iV上的幂零线性变换iB。因为i是线性变换A的特征值，可以断定{0}iV。取0jiV，有0irijB，故存在正整数(1)jjikkr使得0jkijB且10jkijB。显然有，向量组1,,,jkjijijBB线性无关，令1()(,,,)jkjjijijILBB，则()jI为iB的一个不变子空间，我们称()jI为由j生成的循环不变子空间。显然有：1101(,,,)(,,,)010jjjjkkijijijjijijkkBBBBB对于线性空间iV，利用商空间和子空间直和分解技巧，可以得到如下结论：4iV可分解为iB的循环不变子空间的直和：12()()()itVIII，则以下向量组（为便于书写和理解，我们用如下形式表示出来）为iV的一组基：12121211112stiiitkkkiiitBBBBBB其中，1{,,,}(1,2,,)jkjijijjtBB为iB的一个循环不变子空间的一组基。在上面给出的这组基下，iB在iV上的矩阵为12iiiitJJBJ，其中01(1,2,,)010jjijkkJjt则在同一组基下，线性变换iiABE在iV上得矩阵为iiBE。iV是前面对V做直和分解的一个子空间，我们将所有iV的以上形式的基合并为V的一组基，则A在该组基下的矩阵为Jordan矩阵。值得注意的是：11,stijiijrnkr；()0,iriiVVAE也称为属于特征值i的根子空间。从以上直和分解的证明思路可以看出，我们只证明了Jordan标准型的存在性，并没有给求出具体形式的Jordan标准型的方法，更没有给出其唯一性的证明，事实上，这两个问题可以用下面的方法得到完满的解决。2.1、对直和分解方法的一个补充设A为n维线性空间V中一线性变换，0为A的一个特征值，构造线性变换0BAE，定义以下空间：ker,ImiiiiMNBB则：011{0}kkMMMM011kkVNNNN显然，,iiMN为A子空间，且dimdimiiMNn，因为0为A的一个特征值，可以断定1{0}M，故存在正整数k使得011{0}kkMMMM，相应的5有：011kkVNNNN可以证明，上面的,kkMN有kkVMN，且kMB为幂零线性变换。这样，我们将V直和分解成两个子空间，其中的kM上有幂零线性变换kMB，由前面的论述过程可知，在kM上存在一组基，使得A在此基下的矩阵为12mJJJJ，其中000101(1,2,,)01hhikkJim而dimdimkkNnMn，这样，就可以用数学归纳法证得Jordan矩阵的存在性。对于构造出的序列空间011kkMMMM可以求得112dimdimdimlllMMM等于J中以0为特征值，且阶为l的Jordan块的个数，所以，以0为特征值的Jordan块的阶和个数完全由序列空间：011kkMMMM确定，和基的选取无关。注：为计算方便，我们做如下简单转换：由于keriiMB，可以知道dim()iiMnrB，所以，112dimdimdimlllMMM就可以写成，11dimdim2dimlllBBB对于一个线性变换，先求出它的全部特征值，再先后求出各个特征值的Jordan块，这样，就完成了唯一性的证明，并且给出了Jordan标准型的具体求法。上面我们从两方面完成了Jordan标准形存在性和唯一性的证明，并且给出了具体的求法。由于代数基本定理告诉我们，每个次数1的复系数多项式在复数域中有一根。由此，由定理1可以得出出以下定理。定理3：每个n级复矩阵A，存在可逆矩阵P，使得1PAPJ，J是Jordan形矩阵，在不考虑主对角线上Jordan块的排列次序的情况下，这个Jordan矩阵是唯一的。下面我们来求相似矩阵的过渡矩阵P。二、求解过渡矩阵1、通过矩阵求解6,AJ相似，则EA与EJ等价，故存在可逆矩阵(),()UV使得()()()UEAVEJ(1)对(),UJ，存在0(),QU使得0()()()UEJQU(2)对(),VJ，存在0(),RV使得0()()()VREAV，可以证明11110000()UAUVAVJ，这样，就得到了我们想要的过渡矩阵100PUV。但由于上面的()()UV，很难求得，所以，在具体计算上是极其局限的。下面用另一种相对来说可用于具体计算的方法解决过渡矩阵的问题。2、用商空间的技巧求过渡矩阵关于Jordan标准形的讨论，本质上我们是对一个线性变换A，找出一组基，使得A在此组基下的矩阵有尽量简单的形式以便于我们研究。对于线性变换A，由其特征多项式1212()()()()srrrsf可以求得其所有特征值，对每个特征值i，它的全部特征向量再添加零向量就构成了A的一个特征子空间，记为{,}iiVVA，显然，{0}(,1,)ijVVijijs，当12dimdimdimdimsnVVVV时，也就是说A恰有n个线性无关的特征向量时，A在一组基下的矩阵是对角矩阵。当12dimdimdimdimsnVVVVm时，A在任何基下的矩阵都不能是对角形矩阵。从前面的论述我们已经知道，总存在一组基，使得A在这组基下的矩阵为Jordan标准形，那么，我们可以合理猜想，当A的线性无关的特征向量个数m小于线性空间维数n时，肯定是某些特征子空间的维数dimiV小于相应特征值的重数ir，那能不能找到dimiirV个线性无关的向量，和dimiV个特征向量组合成一线性无关的向量组（这个向量组与i有紧密的关系），最后将这新构造的s个向量组合并起来恰好是n个，若这n个向量线性无关，则构造了空间V的一组新基，且使得A在这组基下的矩阵为Jordan矩阵呢？应该注意到，上面提出的“猜想”的过程，恰好是前面“通过直和分解求Jordan标准形”中采用的分解空间为根子空间，进而将根子空间分解为循环不变子空间的“逆过程”。下面，我们就来简单地论述这件事情。首先给出商空间的定义和基本性质：定义4：V是数域P上的一个n维线性空间，M是V的一个子空间。在集合7={++={+m},}VMMmMV上定义加法：(+)(+)(+)+MMM，对kP，定义数乘：(+)+kMkM。可以验证这个加法和数乘是合理的。V关于该加法和数乘组成数域P上的线性空间，称V为V对M的商空间，记为/VM。一般记+M；设1,,m为M的一组基，将其扩充成V的一个基组：11,,,,,mmn。易证得1,,mn为V的一组基，则dimdim/dimVVMnM。可以定义一个从V到V线性映射()。M是-A子空间，A在V内我们定义诱导变换：(+)+MMAAAA，其实诱导变换A可以表示为()A。从“通过直和分解求Jordan标准形”的论述可以看出，我们真正要处理的问题是：对根子空间()0,iriiVVAE上的一个幂零线性变换iiEBA，找出各个循环不变子空间的基组。iB只有一个特征值0。定义{0,}iiMVB，iM为iB的唯一特征值0的特征子空间。则可以定义商空间/iiiVVM。现在我们假设，iB在iV内诱导变换有一个k维循环不变子空间1()(,,,)kiiILBB，由0