弹性力学试题及标准答案

1/12弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L-1MT-2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7、已知一点处的应力分量100xMPa，50yMPa，5010xyMPa，则主应力1150MPa，20MPa，16135。8、已知一点处的应力分量，200xMPa，0yMPa，400xyMPa，则主应力1512MPa，2-312MPa，1-37°57′。9、已知一点处的应力分量，2000xMPa，1000yMPa，400xyMPa，则主应力11052MPa，2-2052MPa，1-82°32′。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数Ni在i结点Ni=1；在其他结点Ni=0及∑Ni=1。20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。2/12二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（√）5、如果某一问题中，0zyzxz，只存在平面应力分量x，y，xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应力问题。（√）6、如果某一问题中，0zyzxz，只存在平面应变分量x，y，xy，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应变问题。（√）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（√）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（√）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（√）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（√）三、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。（1）ByAxx，DyCxy，FyExxy；（2）)(22yxAx，)(22yxBy，Cxyxy；其中，A，B，C，D，E，F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程00xyyxxyyyxx；（2）在区域内的相容方程02222yxyx；（3）在边界上的应力边界条件sflmsfmlysxyyxsyxx；（4）对于多连体的位移单值条件。（1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量312xCQxyx，2223xyCy，yxCyCxy2332，体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程3/1200xyyxxyyyxx得023033322322212xyCxyCxCyCxCQy即0230333222231xyCCyCQxCC由x，y的任意性，得023030332231CCCQCC由此解得，61QC，32QC，23QC3、已知应力分量qx，qy，0xy，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量qx，qy，0xy，代入平衡微分方程00YxyXyxxyyyxx可知，已知应力分量qx，qy，0xy一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：yxxyxyxyyx22222)1(2)()(将已知应力分量qx，qy，0xy代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程：yxxyxyxyyx2222212)1()1(将已知应力分量qx，qy，0xy代入上式，可知满足相容方程。4/124、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。（1）Axyx，3Byy，2DyCxy；（2）2Ayx，yBxy2，Cxyxy；（3）0x，0y，Cxyxy；其中，A，B，C，D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即yxxyxyyx22222将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2）CByA22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则0x，0y，0xy（1分）。5、证明应力函数2by能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0b）。解：将应力函数2by代入相容方程024422444yyxx可知，所给应力函数2by能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为byx222，022xy，02yxxy对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：l/2l/2h/2h/2yxO5/12上边，2hy，0l，1m，0)(2hyxyxf，0)(2hyyyf；下边，2hy，0l，1m，0)(2hyxyxf，0)(2hyyyf；左边，2lx，1l，0m，bflxxx2)(2，0)(2lxxyyf；右边，2lx，1l，0m，bflxxx2)(2，0)(2lxxyyf。可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数2by能解决矩形板在x方向受均布拉力（b0）和均布压力（b0）的问题。6、证明应力函数axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，0a）。解：将应力函数axy代入相容方程024422444yyxx可知，所给应力函数axy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为022yx，022xy，ayxxy2对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，2hy，0l，1m，afhyxyx2)(，0)(2hyyyf；下边，2hy，0l，1m，afhyxyx2)(，0)(2hyyyf；左边，2lx，1l，0m，0)(2lxxxf，aflxxyy2)(；l/2l/2h/2h/2yxO6/12Oxybqg右边，2lx，1l，0m，0)(2lxxxf，aflxxyy2)(。可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设0x。由此可知022yx将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式)()(,21xfyxfyx将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得0)()(424414dxxfddxxfdy这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即0)(414dxxfd，0)(424dxxfd这两个方程要求ICxBxAxxf231)(，KJxExDxxf232)(代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得2323)(ExDxCxBxAxy对应应力分量为022yxgyEDxBAxyxy26)26(22CBxAxyxxy2322以上常数可以根据边界条件确定。左边，0x，1l，0m，沿y方向无面力，所以有0)(0Cxxy7/12右边，bx，1l，0m，沿y方向的面力为q，所以有qBbAbbxxy23)(2上边，0y，0l，1m，没有水平面力，这就要求xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即0)(00dxybxy将xy的表达式代入，并考虑到C=0，则有0)23(2302302BbAbBxAxdxBxAxbb而00)(00dxybxy自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即0)(00dxyby，0)(00xdxyby将y的表达式代入，则有02323)26(2020EbDbExDxdxEDxbb022)26(230230EbDbExDxxdxEDxbb由此可得2bqA，bqB，0C，0D，0E应力分量为0x,gybxbyqy312,23bxbxqxy虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为xVfx，yVf